1.3 平面极坐标速度表示**在线视频

同学好 这一节我们讲

平面极坐标速度表示

这是双星号的内容

假设我们考察一个物体的运动

这个物体呢运动只局限在二维平面上

这个时候

我们就可以用平面极坐标来研究这物体的运动

在平面极坐标其实是有两个坐标

一个是r和一个是θ

我们来看一下啊

假设这是一个极轴

这是质点的轨迹

在t时刻

这个质点的位置用位矢来表示或者矢径来表示

那么这个矢径的长度

就是平面极坐标的这个坐标r

而这个矢径和极轴之间的夹角就是这里面的θ

在平面极坐标里面

我们还需要定义两个方向

那通常呢

我们选择沿着矢径方向的一个单位矢量r帽

还有一个呢

是垂直于这个矢径方向的另一个单位矢量叫做θ帽

用这两互相垂直的单位矢量来表示方向

这样的话呢

我们这个矢径在极坐标里面

就可以表示成长度以及方向两个量

我们注意到

这个表示方向的r帽

我们仍然把它写成了时间的函数

这是因为这两个单位矢量

与直角坐标里面的 i j k单位矢量不一样

在直角坐标里边呢

i j k 这个单位矢量的方向是固定不变的

但是在极坐标里面

这两个单位矢量是根据位置的不同而发生改变

比如说质点跑到这来了

这个时候它的矢径方向是沿着这个方向

而垂直于这个矢径方向的θ帽是这个方向

所以它是随时间改变的量

那这样我们在平面极坐标

就可以研究质点运动速度

假设在平面极坐标这是质点的轨迹

t时刻这个质点是在P1这个位置

过了Δt这个时间呢

它运动到了P2这个位置

当然我们知道P1到P2这一段线段所代表的

就是这个质点的位移Δr这个矢量

那么Δr
这个位移对应一个角度的转动

这个角的转动用Δθ 来标记

因为这是在Δt时间内发生的

所以当Δt趋于0的时候 Δθ 也趋于0

我们来看一看这个位移是什么样的

我们从P1向OP2这个矢径引一个垂线

那么这个垂线在OP2这个矢径上

就截取了这个一段长度

这段有方向的这个量也把它当作一个矢量

那么这个时候

实际上这个位移就是这两段矢量的叠加

那么这一段矢量

它的大小 它的方向如何的呢

我们来看一看

当Δθ趋于0的时候

其实这段长度

就是t+Δt时刻矢径的长度和t时刻矢径的长度的差值

也就是说这个长度其实是Δr

方向呢当Δθ趋于0的时候

无论是t时刻还是t+Δt时刻

这两个矢径的方向是差不多的

就是沿着矢径的方向

另一个矢量这个矢量呢

它的大小在Δθ很小的时候

我们很容易把它计算出来

就是这个矢径的长度乘上这个小角度Δθ

方向呢 Δθ趋于0的时候

其实这个方向就是垂直于矢径的方向

所以它就是θ帽所代表的方向

这样在极坐标里面

位移这个矢量就可以用这两个小的矢量来表示

如果我们两边都除以Δt

然后取极限

那么左侧这个式子

实际上就是矢径对时间的导数

而这个呢是矢径长度对时间的导数

当然这个呢就是角度对时间的导数

当然我们根据定义我们知道

这其实就是质点的速度

那么质点的速度呢有两部分

一个是沿着矢径方向

一个是垂直于矢径方向

那么从几何上来看啊

假如说这质点的位置在这

那么沿着矢径的方向有一个速度分量

我们把它叫做径向速度

垂直于矢径方向沿着θ帽方向的这个速度分量

我们把它叫做横向速度

那么从另一个方面

矢径其实可以用它的长度和方向来表示

速度实际上是对矢径的时间导数

我们可以对它直接求导数

因为这时有两项

所以这个导数呢分成两部分

第一先对长度求导数

第二部分呢 对方向求导数

刚才我们已经推出来

速度其实是这样的表达式

所以和刚才我们直接求导数推出来的结果

比较一下我们就得到了这样一个关系

其实这个关系我们很容易推导出来

我们来看一下矢径的方向 这是单位矢量

它的长度是1 是固定不变的

所以它对时间的导数

也就是说随着时间的变化率

仅仅是体现在它的方向变化

因为长度不能改变

假如说Δt时间它的方向变化了Δθ这样的一个角度

那这个时候矢径的变化就是这段矢量来表示Δr

我们知道这个Δr这个长度啊

当Δt趋于0的时候呢

其实就等于这段长度乘上Δθ

但是这个单位向量呢

所以它是等于1长度

所以Δr帽的这个长度就等于Δθ

方向呢你看这个方向

当Δθ趋于0的时候

这个方向其实就垂直于矢径的方向

垂直于矢径的方向我们不是定义为θ帽呢

所以它的方向其实是沿着Δθ帽

所以当我们计算这个矢径对时间导数的时候

其实这个Δr帽的这个量呢

大小上是Δθ 方向是沿着θ帽

Δθ比上Δt这个极限

其实就是角度对于时间的导数

所以这个式子就推导出来了

那么用同样的思路

你也可以回去练习去推导

θ帽对于时间的导数应该是什么

好 这一节就讲到这 谢谢