5.2 刚体定轴转动（运动学）在线视频

同学们 我们现在呢开始讨论第二小节

刚体定轴转动的运动学

那么所谓的运动学呢

我们无非就是讨论刚体的位置呢

随时间的变化关系

这一小节呢会涉及到角位移 角速度

角加速度等与角度有关的量

以及呢线速度与线加速度与线度有关的量

以及它们之间的相互关系

这是一个刚体绕这个定轴呢转动

这个转动呢从上面往下看呢

是做逆时针方向的运动

刚体呢任意选择一个p点

那么p点呢将会在

垂直于这个转轴的这个平面内呢做圆周运动

圆心呢是O 而半径呢是r⊥

如果由上往下看

把p点的运动轨迹呢重新画一下

就是这儿了

这儿它的运动轨迹显然是一个圆

p点呢在这儿做圆周运动

圆心呢是这个O点

现在呢我在这个平面内呢选择了一个x轴

它的原点呢就是这个圆心

当然这个圆的半径是r⊥

在t时刻 p点呢是处于p1的位置

那么这个时候的位矢呢与x轴的夹角是θ

过了Δt时间以后 它到达p2这个位置

这个时候呢位矢与x轴的夹角呢是θ+dθ

那么我们前面讲质点运动学的时候

已经知道了

dθ呢我们称为Δt 时间之内的角位移

而角位移随时间的变化率呢

我们就定义为角速度

那么角速度呢随时间的变化率呢

我们就定义为角加速度

在刚才这个例子里面我们知道

要描述p点的运动我们只要用一个参量

也就是说这个θ角就可以啊

唯一的准确的确定了p点的位置呢

所以呢刚体定轴转动的时候

刚体上每一个点的运动是一个一维运动

那么这个呢使我们想起

我们前面讲一维直线运动的时候

定义的一个线速度和加速度

线速度呢就是位移随时间的变化率

加速度呢就是速度随时间的变化率

大家比较一下定轴转动

每个质点运动时候的角速度和角加速度

与一维直线运动的时候线速度和线加速度

你看它们是一样的

只要把这儿的角位移对应这儿的线位移

这儿呢角速度对这应这儿呢线速度

这儿角加速度呢对应这儿的加速度

这样的话我们在一维直线运动里呢

讨论的所有的方程都可以平移到这儿来

举个例子

在一维直线运动里面

如果我们假设加速度呢是一个常数

我们就得出来呢

任意一个时刻的速度v与初始时刻的速度v0

和加速度与t之间的关系v=v0+at

和以及位移(s-s0)=v0t+(1/2)at2

这s呢是t时刻的位移

我们这样平移到这儿来以后就发觉

如果角加速度保持恒定的话

我们发觉角速度和时间的关系

角位移与角速度和时间的关系

和这儿呢是一模一样的形式上是一模一样的

刚才讨论到刚体定轴转动的时候

与角度有关的量

我们还是呢质点p呢做圆周运动

还有线度有关的量因为线速度和线加速度

这个呢在质点运动学里面都已经讲完了

我们这儿写在这儿

做圆周运动的时候它线速度的大小呢v=r ω

r⊥呢是它的半径

那么加速度呢我们分为两项

一个呢切线加速度来反映呢

速率的改变变化率呢速率的变化率呢

dv/dt 把这个代进去以后呢

就得到r⊥α α呢是角加速度

还有个呢是法向加速度

反应呢速度方向的改变

我们知道v平方呢除以r⊥等于r⊥ ω平方

这部分内容呢在质点运动学里面都已经学过了

在质点运动学里面呢我们还强调

角速度ω呢实际上是一个矢量

刚才呢我们介绍了它的大小

它的大小呢当然是角位移随时间的变化率

而它的方向的判定呢

是根据右手螺旋关系 比如说

刚才介绍这个刚体呢做定轴的转动

这是一个旋转轴

从上到下看呢以逆时针方向运动

根据右手螺旋关系呢我们可以判定

这儿的角速度ω呢是沿着轴的而且是向上的

角速度啊作为矢量处理以后

那么角加速度啊我可以重新来写了

也可以写成矢量的形式

角加速度啊是角速度随时间的变化率

当然呢这儿的角加速度呢显然也是有矢量的

这样呢我们把线速度也可以写成矢量的形式

这个呢在质点运动学里面也已经讲过了

线速度v=ω×r⊥

r⊥呢刚才讲了就是呢

在这个圆周运动的平面上啊

位矢r⊥是一个位矢 ω呢是一个角速度

那么速度对时间的变化率呢就是加速度

根据定义来就行了

把这个带进去以后我们就可以得到这样两项

我们仔细的看这两项

dω/dt这是什么啊

就是角加速度 就是角加速度

这儿呢dr⊥/dt就是什么啊就是线速度

那么在刚体定轴运动的情况下

我们分别判断一下这两个叉乘矢量的方向

我们看看第二个ω×v它的方向是哪个方向呢

ω的方向显然是旋转轴的方向

在这儿呢是向外的

v的方向是切向的方向

我们叉乘以后的结果是哪儿呢

是指向半径的而且是向着轴的

我们把它称为是向轴加速度

我们再看看第一个叉乘α×r⊥

在刚体定轴转动的情况之下呢

α角加速度也是沿着轴向的

那么r⊥呢是沿着径向向外的

那么我们可以判断一下

这个叉乘的结果是什么呀

就是沿着切向的

和速度的方向线速度的方向相同或者相反

反正是沿着切向的

当然对于刚体定轴转动的情况呢

刚才我们已经介绍过了

角速度也好角加速度也好

因为都是沿着轴的方向

我们可以把它当成标量处理

我们呢刚才啊把线速度和线加速度

和角加速度都写成矢量以后呢

我们适当做一个推广

还是刚才这个例子

刚才啊我们这么写的时候

我们是选择啊p点运动的一个平面内

也就是说是他们的圆心O点作为原点的

如果我现在啊不是把O点作为原点

而是把这个轴上任意一点C点作为原点的话

这个时候的位矢呢 p点的位矢呢就是r了

我们发觉我先把这个结论写在这儿

这个时候线速度p点的线速度啊

原来是写成ω×r⊥

实际上也等于ω×r

只要呢这个原点C是在这个轴线上

那么我们可以简单的说一下

为什么这个式子成立

ω×r我可以把这个位矢啊把它分解为

平行于轴的分量和垂直于轴的分量

可以写在这儿

大家可以看一下这个

ω的方向当然是轴的对于刚体啊定轴转的时候

当然是轴的方向

这个呢也是平行于轴的方向

这个叉乘的结果是等于零的

所以呢ω×r=ω×r⊥

于是这个式子成立

这样的话我们可以简写为

v线速度啊等于ω×r

当然把这个呢对于时间求导数呢

就得到加速度了dv/dt

这个呢和刚才讨论的情况都是一样的

这个推广有什么好处呢

好我们来看看定点转动的情况

我们前面讲过了这是一个刚体

绕定点C转动 不是定轴了是定点C转动

前面呢我们说过定点的转动呢

就相当于绕一个瞬时轴的转动

假如这个时候瞬时轴呢是这个方向

瞬时角速度呢ω的方向就是轴的方向

根据刚才的推广的话

显然我们可以把线速度呢v=ω×r

和刚才定轴转动的情况有一个不一样的地方呢

就在这儿的ω呢 方向不是固定的

而是随着瞬时轴的变化而变化的

我仍然可以对这个线速度呢对时间求导数

可以得出线加速度

我们把这个带进去以后就可以展开这个两项

和刚才情况一样这个呢就是角加速度

而这个呢就是线速度

和刚才的情况不一样的地方是

这儿的角速度啊和角加速度啊

这两个矢量的方向呢是随时间变化的

这两个叉乘项的方向啊

不是一下子能看出来的

有兴趣的同学呢回去以后

可以做进一步的分析

这儿呢就不做深入的讨论了

好 今天呢我们就讲到这儿

谢谢大家