5.9 刚体定轴转动小结在线视频

同学们 这是本章的最后一次课

我们将结合部分的演示实验

对第五章的内容呢进行一个简单的小结

我们知道呢刚体的一般运动呢

可以分解为非质心的平动加上绕质心的转动

而平动部分呢实际上就是质心的运动

我们呢可以运用质心运动定理呢加以描述

那么转动部分呢

我们分为定点的转动和定轴的转动

在定点的转动部分呢

我们引入了角速度矢量

它的大小呢等于角位移随时间的一个变化率

它的方向呢是瞬时轴的方向

那么角速度随时间的变化率就是角加速度

那么我们还有一个线速度

线速度呢等于角速度呢叉乘一个r

r是什么呢

是刚体上的一个质点相对于定点上的一个位矢

那么对线速度呢再求一次导呢就是加速度

在定轴转动的部分呢

当刚体啊做定轴转动的时候

刚体上的每一个点都将在

垂直于这个旋转轴的平面内呢做圆周运动

这个时候呢角速度也好角加速度也好

都是沿着旋转轴的方向的

所以呢我们也以用一个标量来表示

ω呢是角位移随时间的变化率

角加速度呢等于角速度随时间的变化率

这个时候呢

显然线速度呢是沿着圆周运动的切向方向

它等于呢圆周运动的半径乘以角速度

那么加速度呢分成两项

一个呢是切向加速度等于r⊥乘以角加速度

r⊥呢是圆周运动的半径

那么法向加速度呢是v的平方除以r⊥

或者呢等于r⊥ω平方

刚体定轴转动的时候呢满足定轴转动定律

定轴转动定律包括相对于转轴的合外力矩

等于呢对同一轴的转动惯量乘以角加速度

我们呢可以用一个演示实验来定性的验证

刚体的定轴转动定律

对刚体的一个旋转轴的呢合外力矩呢

等于转动惯量乘以角加速度

我们呢通过实验呢来说明这一点

这是一个圆盘

这个一个水平的轴呢通过质心

而垂直于这个圆盘面呢

这儿呢有四个负重

通过改变这四个负重的位置呢

来改变整个圆盘的转动惯量

这儿呢有重物呢下落以后呢

来提装一个重力矩 对轴的一个外力矩

好 现在呢在重量不变

可以说外力矩不变的情况之下

我想办法来改变转动惯量

来看看角加速度是如何变化的

现在首先呢我们把这四个负重呢放在最外圈

可以说这个转动惯量呢最大

而角加速度呢是如何衡量的呢

我这儿做了个标记

我让这个轮子旋转四周的时间

来衡量它的转动角加速度的大小

好 现在我们准备开始

预备起

现在呢我把这四个重物呢

移到离轴比较近的地方

也就是减小呢整个系统的转动惯量

我来重复刚才的实验

看看这个角加速度是如何变化的

好 开始

在刚才的演示实验里面呢

合外力距呢是通过重物的重力矩提供的

当我们呢改变转动惯量大小的时候

就改变了角加速度的大小

我们角加速度呢是用转盘呢转动前四次

从静止开始转动四周所用的时间来衡量的

我们发现在合外力矩相等的情况之下

转动惯量越大呢角加速度越小

而转动惯量越小呢角加速度越大

我们往往呢将刚体的定轴转动定律

和牛顿第二定律呢进行一个比较

牛顿第二定律呢F=ma

定轴转动定律呢M=Jα

这儿的力和这儿的外力矩呢

又是状态变化的一个原因

而这儿的质量m和这儿的转动惯量呢

都反映了惯性的大小

而这儿的加速度呢和这儿的角加速度呢

都反应了状态变化的快慢

那么运用刚体的转动定律的时候呢

我们需要转动惯量需要计算转动惯量

转动惯量的定义是这样的

对于一个质量连续方程的体系

一个原质量乘以它到转轴距离的平方

对所有的质量呢进行积分

那么从这个式子可以看出来呢

转动惯量呢是由质量对轴的分布决定的

与刚体的转动状态是没有任何关系的

那么计算转动惯量的时候

往往具备以下三个特性

一个呢所谓的叠加性

一个平行轴定理和转交轴定理

对定向性呢是显然易见的

一个刚体呢我们可以把它分成好几个部分

每一个部分对同一轴的转动惯量叠加起来以后

就等于整个刚体相对于同一轴的转动惯量

所谓的平行轴定理呢是这样子的

这儿呢是一对平行轴Zc和Z

那么ZC呢是通过质心C的

那么相对于Zc的转动惯量呢是Jc

相对于Z的转动惯量是J

那么平行轴定理告诉我们呢J =Jc+md2

这个d呢就是两个平行轴之间的距离

m呢是刚体的质量

从这个式子可以看出来呢

在一对平行轴里面

通过质心的这个轴的转动惯量是最小的

也就是Jc呢是最小的

另外呢对薄板刚体来讲呢

还存在一个所谓的正交轴定理

这儿呢是一个平板刚体

建立一个坐标系xOyz

其中呢x轴和y轴呢都在这个薄板的平面内

那么z轴呢是垂直于这个平面的

那么正交轴定理告诉我们呢

相对于z轴的转动惯量呢

等于对x轴的转动惯量减Jx

加上呢对y轴的转动惯量呢Jy

这个呢就是正交轴定理

那么在定轴转动部分呢还有一个功能原理

因为合外力距呢是要做功的

那么合外力距做的功等于多少呢

等于合外力距呢对角位移的一个积分

那么刚体定轴转动的时候呢

转动动能呢可以表达成(1/2)Jω2

J呢这儿是对轴的转动惯量

ω呢是角速度

那么有了这个式子以后呢

刚体定轴转动的动量定理呢

就可以表达为合外力距做的功

等于刚体呢定轴转动的动能的增量

这个呢就是刚体定轴转动的动量原理

然而我们在用功能原理进行解题的时候

往往要用到柯尼希定理

柯尼希定理告诉我们是什么呢

刚体啊这个惯性系里面的动能

等于它在质心系里面的转动动能

加上质心在惯性系里面的一个平动动能

那么刚体定轴转动的时候呢

还有个角动量定理

在某些情况之下呢

还确了个角动量守恒定律

所以角动量定理是这样的

刚体定轴转动的时候

对转动轴的合外力距等于

对转动轴的合角动量随时间的变化率

照这个式子很容易看出来

如果合外力距等于零的话

当然角动量是守恒的

那么如果这个角动量守恒

Jz越大的话角速度越小

而Jz越小呢而角速度越大

下面呢我们通过三个实验呢

来定性的验证一下角动量守恒定律

这是呢是一个茹科夫斯基转椅

它绕竖直轴呢可以自由的转动

如果忽略摩擦力的话

竖直方向力矩是等于零的

竖直方向的角动量是守恒的

现在呢我想让转椅转动起来

使在整个系统呢有一个初始的角动量

由于在竖直方向呢没有力矩的作用

那么在竖直方向角动量应该是守恒的

我现在伸开手臂你看转速慢了

收拢 转速快了 再散开又慢了

再收拢又快了

这是为什么呢

因为当我伸长手臂的时候

转动惯量大所以呢角速度小了

收拢的时候转动惯量小了所以呢角速度大了

这是角动量守恒的原理

现在呢我静止站在转台上

那么这个时候的总角动量

竖直方向的总角动量当然等于零的

现在呢让车轮呢转动起来

虽然车轮转起来了但是呢角动量是水平的

竖直方向的角动量仍然等于零

我现在呢把车轮举起来

再平放

再放下向下

再平放

再举起来

好

这是一架直升飞机的模型

刚开始呢 静止在这里

现在呢打开旋翼的开关 让它旋转起来

就会发现机身向相反方向旋转

为了抑制机身的旋转呢

我现在打开尾翼的开关

我们会发觉机身自身的旋转得到了抑制

在刚才的这三个实验里面呢

竖直方向的合外力距都是等于零的

所以呢竖直方向的角动量呢都是守恒的

在第一个茹科夫斯基转椅这个实验里面呢

当手臂松开的时候转动惯量大

收缩的时候呢转动惯量小

所以呢前者呢角速度啊小而后者角速度大

在转台车轮演示实验里面呢

当然静止的时候虽然车轮有一个转动

但是车轮水平放置的时候啊

它的角动量是水平方向的

竖直方向的角动量呢是等于零的

当把车轮上举后来下举的时候

车轮的自然角动量呢有一个竖直的分量

所以呢为了维持角动量守恒呢

转台将会向相反方向来旋转

在直升飞机这个实验里面呢

刚开始的时候直升飞机是静止的

在竖直方向的角动量是等于零的

当我们打开旋翼让旋翼转起来以后

为了维护呢角动量守恒

所以呢机身呢将会向相反的方向运动

相反的方向旋转

这个呢是不利于直升机的安全的

那么为了抑制这种旋转呢

我们往往在飞机的尾翼加了一个尾桨

那么由于尾桨的旋转

施加一个水平方向的力矩

来抑制或者消除这个机身的旋转

刚体的平面运动呢

前面我们已径讲过了

就是分解为随质心的平动

加上绕质心呢定轴的转动

所以呢我们可以把刚体上任意一点的速度呢

可以表达成质心的平动速度

加上在质心参考系里面

质点相对于质心的一个转动的速度

可以表示成ω×r

正是以为这个叠加关系呢

我们经常会看到一些预料不到的现象

比如说一个乒乓球放在一个粗糙的平面上

这样他的前上方摁一下

那么乒乓球将会向哪个方向运动呢

好 我们可以通过实验来看一下

刚才我们看到了

当用手指在乒乓球的上方啊

上方按一下以后

乒乓球首先是向前运动的

然后呢又返回运动的

好 同学们可以用我们学过的知识呢

来进行分析一下

那么刚才讲了刚体的平面运动呢

分解为质心的平动加绕质心的定轴的转动

平动部分呢

我们可以绕质心运动定理啊来描述

这个呢是一个合外力

这个等于呢mac

m呢就是刚体整个的质量

ac呢就是质心的加速度

那么在转动部分呢

我们是在质心系里面处理的

在质心系里面这是一个合外力矩

这个呢是质心系里面转动轴的转动惯量

乘以角加速度

这个呢是质心系里面的

刚体定轴转动的转动定律

本章的最后一部分呢

我们讲了刚体的进动与章动

对于一个高速自转的这样一个物体的话

如果时时刻刻制造一个

自旋角动量垂直的力矩的作用的话

那么这个自转轴呢将会绕着另外一个轴呢

做进动或章动

我们推导出来呢进动的角速度呢

等于合外力距除上呢角动量乘上sinθ

这个θ呢是原来的自旋的角动量

与竖直方向之间的夹角

下面呢我们来看一个磁矩陀螺

在磁场里面进动的一个例子

刚才这个例子可以看出来呢

对于高速旋转的这样一个磁矩陀螺啊

在磁场里面啊它会受到这样一个磁力距的作用

这个力矩呢是垂直于自旋的角动量的

所以呢这个磁矩陀螺呢

在磁场里面呢将会做进动

这个呢就是我们刚才看到的现象

以上呢就是本章讲到的内容

好 谢谢大家