3.5 质心在线视频

这一节我们讲质心

我手里有两只笔

我现在要拿一只笔把另一只笔举起来的话

当然你随便搁位置的话它就会

你看 它就会失去平衡掉下来

但是假如我小心把它放到一个位置的话呢

我们就可以把这个笔啊举起来

那么这个位置我们都知道实际上它是重心

那么这个重心呢实际上就是我们要讲的这个质心

它是在一个位置上的

那么这个质心我们怎么计算呢

假如说有N个粒子系统

这个时候啊我们有个坐标系 有个原点

那么相对于原点

每一个质点的位置啊质量啊 我们都是清楚的

这个时候啊 这个质点系的质心位置

我们是用这个式子来计算

那么质心坐标就等于

每一个质点的质量乘上这个质点的矢径

然后求和除以这个总的质量

这是一个矢量式子

我们也可以把质心的坐标分量计算出来

比如说质心的X坐标分量呢它是等于

质点的x坐标乘上质点的质量把它加起来再除以总的M

那么同理对于y和z坐标也是类似的公式

假如说这个质量分布是连续的

这个时候我们可以把这个求和啊用积分来代替

这个积分的意思实际上就是这个求和的意思

那么质量呢 质量求和也是可以用积分来表示

那么对于y和z分量也是一样的处理

那么在这里面呢

我们说积分可能是线积分

也可能是面积分 也可能是体积分

这要看你这个质量的分布是怎么分布的

比如说这个质量是在线上分布的

那么我们就要用线积分来计算

如果这个质量是在面上分布的

我们要用面积分来计算

假如说这个质量是块分布

我们就要用体积分来计算

这些积分统统都是求和的意思

好 下面呢我们给一个例题

假设三个质量都一样

那么这质点呢不共线

这个时候求它们的质心

那么我们选一个质点作为原点建立坐标

这个时候呢质心的X坐标就利用那个公式代进去就行

注意这里面呢没有这个质点出现在公式里

这是因为这个质点的坐标是0

那么质心的y坐标同样用这个公式

很容易把它计算出来

下面再给另一个例子

假设现在有一个半圆形的薄板

它的半径是R 质量是m 均匀分布

求这个薄板的质心

我们以这个半圆的圆心作为原点建立坐标

这个时候呢

质心的x分量 我们当然可以利用这个公式来求

那么我们怎么计算这个积分呢

我们把这个圆盘呢 画成无数个小块

那比如说有一个小块在这个位置

这个时候呢 这个积分不是求和吗

所以我们把这个小块的x坐标乘上小块的质量

除以总的质量就是这个质心的x坐标

我们求和的时候是这样求和

因为这个圆板相对于这个y坐标轴是对称的

所以我们可以找到一个对称的这个位置

找到另一个小片

那当然它的坐标是(-x,y)质量是一样的

所以在这个求和式子里面

这两个项是互相抵消的

所以你求和这个式的时候

如果我们这样两项两项求的话

都是互相抵消的 总体不就是等于0吗

所以这个质心的x坐标是等于0的

也就是说它的质心是在这个y轴上的

一般假如说这个物体对于某个轴是对称的时候啊

这个质心位置一定是在这个对称轴上

下面我们来看一看质心的y坐标分量

当然它的公式也是这个

那么这个积分我们怎么计算呢

因为这个质量分布在一个半圆面上

所以这个积分实际上是面积分

不过我们在这里边呢用特殊的方法计算

假设这个圆板的面密度是σ

就是单位面积的质量是σ

我们可以把这个半圆板呢画分成无数个窄条

这个窄条的宽度呢是dy

比如说我们考虑这一段窄条

它在这一边圆上的边缘上的坐标是(x,y)的话

那么我在计算这个积分的时候

对于这个窄条来说y是一个恒定量

所以可以把它拿到积分号外面来

而这个窄条的总的质量呢

当然我们可以利用窄条的面积乘上这个σ来计算

窄条的面积当然我们知道是宽度dy乘上这个长度

这个长度是两倍的x

所以这里2xdy是它的面积

这个圆板的半径是R

所以这个x我们可以用y来表示

它是等于R的平方减去y的平方

如果我们要对整个半圆板求和的话

或者计算这个积分的话

就是把所有的这些窄条都加起来

而这些窄条呢实际上是分布在y=0到y=R这个范围内的

所以这个求和实际上是从0到R的y的积分

而总的质量这个m呢

实际上就是它的面密度乘上半圆的面积

这个积分就是我们通常学的那个积分 定积分

这个定积分比较容易计算出来

计算出来的结果呢 它是等于4R/3π

也就是半圆板的质心的位置实际上是在y轴上

距离这个原点大概不到1/2半径的那个位置上

好 这一节内容就讲到这儿 谢谢