10.5 输运过程在线视频

同学们好

那么之前呢 我们讲的都是和平衡态有关的

一些物理过程和物理现象

那么这一节课呢

我们来看看非平衡态会带来什么现象呢

那么也就是所说的输运过程

什么叫输运过程啊

我们说 当这个体系

在宏观下 处在一个不均匀的非平衡状态下

由于分子运动 它会怎么样

不受外界影响的情况下

它会逐渐的恢复到一个平衡状态

那么这里面

就伴随着各种各样的一个输运过程

最重要的三个基本的输运过程

一个是内摩擦

一个是热传导 还有一个是扩散

首先 我们来介绍内摩擦

什么是内摩擦啊

它是指当流体内部

各部分流动的速度不一样的时候

就会出现的一个现象

叫做内摩擦现象 也叫做粘滞现象

这个在力学里面其实我们提到过

那么它的模型是这样的

假设有两个板

一个板是静止放在这儿 速度等于零

上面还有一个板

这个板以恒定速度u=u0向右移动

中间夹着流体

这流体有可能是气体 也有可能是液体

那么 由于这个板的影响

它会导致于流体沿着这个方向

不同的位置 它的流速是不一样的

这样就存在一个什么呀

存在一个所谓的流速梯度

也就是流速随着这个方向有一个变化率

那么比如说 对于这一个薄层

上下两部分流体之间 由于这个速度的变化

就会出现力的作用

下层流体就会受到上层流体的一个

向右的这样一个内摩擦力

反之 它的反作用力

也就是下层流体对上层流体的

给一个向左的这样的内摩擦力

这两个力是互为相反力的

这个力 按照时间规律

我们知道有这么一个关系

内摩擦力总是正比于这两个

层数之间的接触面积

正比于这个流速的梯度

当然是对应的这个点的

同时 前面有一个常数

这个常数叫内摩擦系数

也叫粘滞系数

这个是可以通过实验来测定的

而对于 实验的测定方法

是这样的

我们把这个流体 放在这么一个桶里面

外桶是匀速的旋转

而内桶是最开始处于静止的状态

内桶挂在一个这样的悬丝上面

悬丝上有一个小镜子

那么由于这个内摩擦力的影响

会导致内桶发生一个扭转

这个扭转的角度我们可以通过

光线打到小镜子上 然后测量反射光线的角度

这样我就可以得到这个扭转的角度

那么我如果能测量出这个扭转的角度

同时又知道这个悬丝扭转的系数

知道内桶的半径

同时 我还可以测出什么呀

可以测出 这个流速的梯度

这样我就可以直接算出内摩擦力

也就知道了 内摩擦系数

这就是测量方法

而对于理想气体而言

我们可以从微观上直接推出来

这个内摩擦系数 就等于这么一个式子

这个式子基本上是和实验符合的

那么我们就从分子运动论的角度

来看这个内摩擦现象怎么回事

从分子运动论的角度的角度来看

所谓的各层流速不同

它其实就是指什么呀

分子在热运动的一个无规则运动之上

又加上了一个定向的运动

这个定向运动不一样

无规则运动并没有什么差别

那么由于热运动 下层的分子

它会跑到上层分子上去

这个时候 它就会把下层的这个比较小的动量

带到上面去了

这个动量是指 这个规则运动的动量

反之上层分子也能跑到下层去

那么它就会把这个上层比较大的动量

带到下层去

那么 这个就导致下层流体 它的动量变大

而上层流体的动量变小

那么在宏观上看 就好像下层呢

受到了一个向右的这样一个内摩擦力

而上层呢受到了向左的这样一个的内摩擦力

这个就是 整个内摩擦现象的一个微观本质

它实际上是什么呀

由于分子的无序运动 输运了什么呢

定向运动的动量 这么一个过程

下面我们就来近似地推导这个

内摩擦系数的 一个关系

首先 我这次是一个近似推导

我们认为

一个单位体积 这样一个六面的一个立方格子

这样六个面

分子从这六个面出来的几率是一样的

都是六分之一

所以对于单位体积内 从一个面

比如说z方向 朝下的面或朝上的面

出来的分子数都是n/6

第二 我说呀

从这个z0这个横截面上

那么截面面积是dS 这么一个小截面

从一侧跑到另外一侧

也就是 从下面到上面或者从下面到上面

这个分子数是多少呢

按照刚才这个分析

单位体积出来的分子数是n/6

那么总体积多大啊

应该是这个截面面积 乘以对应高度

这个高度应该是 分子运动的平均速率乘以时间dt

为什么呀

因为只有在这个高度范围内

分子才能跑下来或者跑下去

再远一点 是来不及到达这个分界线

最后 它有一个非常复杂的一个假设

叫做什么呀

我们假设 在跨过这个截面的分子

它都是在距离这个截面

大约一个平均自由程的地方

发生最后一次碰撞的

那么最后一次碰撞之前的分子 我们就不考虑了

因为那个时候 它携带的动量不知道

这个假说叫什么呢 叫做一次同化论假设

当发生最后一次碰撞的时候

这个分子就把这个动量

从上面带到下面 或从下面带到上面

好了

那么我们就来 算一算携带的动量有多少

假设 在dt时间内

下方的这个流层 净增加的动量是什么部分呢

一个是从上面下来的分子带的动量

一个是从下面分子带走的动量 它俩相减

同时 乘以跑过去的分子数

也就是刚刚算的这个分子数

然后 我把这一项改成微分式

也就是p对z的导数 乘以这个Δz

而Δz等于多少呢 刚刚说过了

我们说这个距离正好是2倍的λ

这么一个间隔

这样 我们就把这个式子

变成一个接近最后结果的式子了

我们说 dS下边流体受到的内摩擦力等于多少啊

等于这个动量变化 除以什么呀 除以时间

就是力

这是动量定理

然后 我们再看这个式子里面有个动量

我们说分子的这个动量啊

这个动量指的是什么 是指定向运动动量

这个动量就等于分子的质量

乘以分子定向移动的速度

注意 不是分子运动的真实的那个速度

而是定向运动的那个速度

因为带走的是定向运动的动量

那么我们把这个代进去之后

就变成du/dz

出现了速度的梯度

再比较

这个粘滞系数 内摩擦系数的定义

就发现这个η 等于什么啊

这个η就等于这个东西

这就是前面那个结果

我们就证明完了

第二种输运现象 叫做热传导

它是指流体内部 如果不同的地方温度不一样

那么会发生一个传热现象

比如说 这个沿着x方向 从x0的地方分界

左边的温度是T1 右面的温度T2 T2比T1要大

那么这个时候 我们就会发现

宏观上有热量不断地从右边到左边

通过这个x0界面

那么它的宏观实验规律是这样的

这个传热 正比这个截面的面积

正比于传热的时间

这个都可以理解

同时还正比于什么呢

正比于 这个温度的梯度

也就是温度随着x方向的变化率

前面差了一个系数

这个系数 叫做传热系数或者导热系数

那么注意到这地方有个负号

负号的含义是什么呀

负号的含义是

热量总是从高温的地方传到低温的地方

因为dx 是x2-x1要大于0的

而温度如果也是大于0

也就是右边的温度比左边的温度要高

那么显然 热量是从右面传到左面

也就是什么呀

传热是沿着-x方传递的 因此这个差一个负号

这个负号在这儿

那么这个导热系数啊

它是和具体的流体的性质有关的

那么流体的不同的温度 不同的状态

它的值就不一样

可以通过实验来测定

那么对于理想气体 也可以通过理论把它算出来

我们看到这个式子啊

长得非常得像

刚才那个粘滞系数的那个式子

只是这有差别

这里的差别是什么呢

这里边的Cv是 定容的比热

当然指一摩尔的定容比热

那为什么会有这个差别呢

因为刚才输送的是动量

而现在输运的是热量

所以会有这么一个差别

那么这个推导和刚才完全类似

请同学们自己课下去推

实验指出 对于气体而言

一般情况下的导热系数是与压强无关的

但是压强很低的时候 它就不对了

这个导热系数是随着压强的减小而不断减小

那么这个也就是我们制造暖水瓶的原理

我们制造暖水瓶的时候

我们知道它是两层玻璃中间夹着一个隔层

这个隔层要把它抽成真空状态

那么它的好处是什么呀

它的导热系数变得很小 有利于保温

那为什么会这样呢

我们可以从里面把它分析一下

分析的过程也就是理想气体状态方程

把它代进去

我们来看一看啊

那么我们把这个n 把这个λ 把这个平均速率v

把它们全都代进去

就是这么一个式子

这个式子 我们看到啊

这个压强 确实是能够约掉

这个导热系统只和什么有关

只和温度有关 和压强没有关系

这就说明了什么呢

对于一般情况下

这个导热系数 确实是和压强无关的

只由温度来决定

但是 当压强很小的时候

我们知道 这个平均自由程这项 就是这项

气体真空 它就不在是这样一个计算公式了

而应该写成什么呀

写成容器的线度

那么它一旦换成容器线度

这里面的压强就没了

那么这就会剩下一个压强

那这意思是什么呀

导热系数和压强成正比

因此压强越小 导热系数就越小

这就是我们刚才说的那种特殊情况

这样我们就知道所谓的微观

热传导的这个本质是什么呢

它就是分子在输运什么呀

输运热运动能量的一个过程

最后我们来看一下扩散

扩散是指流体内部

如果出现密度不均匀的情况

那么就会发生的一个现象

那么还是以刚才那个图像为例子

假设 这个x0的这个界面

两头分子的密度是不一样的

右边比左边要大

那么这个时候

分子就会从右边向左边 发生扩散

实验表明 这个扩散满足这么一个关系

这也跟刚才的关系很类似

我们看到 它和什么有关呢

它和截面的面积成正比

和这个时间成正比

同时和这个密度的梯度成正比

那么这个密度的梯度越大 它就是扩散速度越快

最后有一个常数D

常数D叫扩散系数

它也是与流体的具体性质和状态有关系的

需要通过实验来测定

同时 对于理想气体而言

它也可以推导

这个推导关系是这样

它和刚才的关系 我们看到 虽然长得好像不太一样

但其实也很接近

少了什么呢 少了分子数密度 少了分子质量

原因是在于什么呀

这个输运的 就是分子本身

所以分子数密度和分子质量

最后被约掉了

约掉了哪啊 就是那个密度对坐标导数

也就是密度梯度 含在了里边了

这个也是可以去自己推导的

推导过程和刚才那个

内摩擦系数完全一样的一个过程

同样 那个扩散的微观本质 就是

热运动在输运分子的质量 这么一个过程

好那么这节就讲到这儿 谢谢