4.7 功能原理和机械能守恒定律在线视频

大家好

这一小节我们学习功能原理和机械能守恒定律

我们首先介绍功能原理

对于质点系呢有质点系的动能定理

质点系所受的外力做功加上内力做功

等于质点系动能的增量

我们把质点系的内力呢分成保守内力和非保守内力

保守内力做功

我们可以用势能增量的负值来取代

写出来是这个表达式

然后我们把这两个等式左右两边相减

左边就会得到质点系所受的外力做的功

加上非保守力做的功

等于质点系的末态动能加上势能

减去（初态的动能+初态的势能）

也就是说等式右边出现了动能加势能项

我们把这个动能加势能定义成一个新的物理量

叫做质点系的机械能

定义系统的机械能它等于动能加上势能

显然这个机械能是一个状态量

引入机械能这个物理量之后呢

我们就得到这个结论

就是这一个系统它所受到的外力做功

加上非保守内力做功

等于系统机械能的增量

这个呢我们就称之为功能原理

这个功能原理呢是通过动能定理得到的

所以注意功能原理呢适用于惯性系

那么如果遇到非惯性系怎么办呢

我们只要考虑惯性力做的功就可以了

跟功能原理相对应的有一条守恒律

就是机械恒守恒定律

机械能守恒定律是这样的

只有保守内力做功的时候呢系统的机械能不变

我们写出来的表达式是这样

只有保守内力做功所以外力不做功

非保守内力也不做功

那系统的机械能就是一个常数

但是一般机械能守恒定律强调的是对保守系统

保守系统是一种什么系统呢

就是内力全部都是保守力的系统

这样的系统称为保守系统

孤立的保守系统它的机械能一定是守恒的

孤立的保守系统它不受外力作用

所以外力不做功

而它又没有非保守内力

所以它的机械能一定守恒

也就是说机械能的增量为零

机械能的增量为零的话

那么动能的增量加上势能的增量就等于零

这就意味着作为一个孤立的保守系统它内部的

它的动能呢和它的势能是相互转化的

转化的途径是通过保守内力做功来实现

动能和势能通过保守内力做功进行相互转化

实际上我们自然界还有一个更重要的能量守恒定律

就是普遍的能量守恒定律

内容是这样

孤立系统内部无论经过何种变化

系统内部各种能量的总和保持不变

所以我们刚才说的那个机械能守恒定律呢

是普遍的能量守恒定律在机械运动范围内的体现

这个普遍的能量守恒定律

在我们后面学热学的时候还会提到

这个是热力学当中一个重要的定律就是热一律

热一律讲述的就是关于这个能量转化与守恒的定律

下面我们给大家举一个例子

荡秋千的原理

荡秋千的技巧是什么大家知道吗

我相信男生都知道

荡秋千的技巧就是一人把你拉到一个高位

然后撒手 在撒手之前呢

你呢要保持站立的姿势

当他撒手的一瞬间那你迅速下蹲

然后保持下蹲的姿势然后荡到最低点的时候呢

再迅速起立然后保持站立的姿势荡到另一个高点

荡秋千的技巧就是这个技巧

我相信男生都知道

那么我们现在就来分析

为什么采用这种技巧他就可以越荡越高

我们把它模型化

这个我们把人抽象成一个质点

现在这个质点到这个悬点的位置O的这个长度呢 l′

而且这个代表人的站立姿势

然后他迅速下蹲

迅速下蹲就意味着就是1-2过程

迅速下蹲就意味着把这个有效的摆长变长

l大是于l′的

接着呢保持下蹲的姿势呢荡到将近最低点

在这个2-3过程当中呢

这个我们取人和地球作为系统

它的机械能是守恒的

那么我们可以列一个方程就是

初始的动能加上初势能等于末了动能加上末了势能

也就是这个表达式

就是末动能等于初始的势能

然后到达将近最低点的时候呢

采用的另一个技巧就是迅速起立 迅速站起来

这个发生的过程中的时间非常短极短一瞬间

在这一瞬间那

人和O点的连线呢几乎就是一个竖直的直线

那么大家想想这个过程当中

有一个量有一个什么量会守恒

分析一下啊在这个过程当中大家看

这个人受到的这个张力呢是通过O点的

它不产生力距

而人的重力我们说了这是一瞬间的

而且是靠近最低点的

那么人所受的重力几乎就是通过O点的

或者是重力的力臂是很小的

那么所以重力对O点产生的力距呢

也是可以忽略的接近于零

这样我们就可以认为

3-4这个过程的人对O点的角动量是守恒的

就是人对O 这个所受的外力矩的都等于零

所以角动量守恒

角动量守恒我们可以列一个方程

接着保持这个站立的姿势呢

荡到另一个高点这就是4-5这个过程

4-5这一过程类似于2-3这过程

当然还是机械能守恒

这样我们可以再列一个方程

我们利用这三个方程呢

把这个速度项给消掉

最后得到这个摆长和角度之间的关系

这关系是这样的

由于l是大于l′的

就是这个等式是大于1的

那么我们可以解出来

这个θ′是大于θ 的

这就意味着

经过这一次的摆动呢你采用了这种技巧之后呢

你这个位置比以前的位置要变的高一些

当然了你不断的重复这种技巧呢

人就会越摆越高

这就是荡秋千的原理

那么大家思考一下

这个人越摆越高那么他的能量是从哪来的

好我们接着看一个演示实验的录像

这个演示实验的名称啊叫做锥体上轨

大家好我们这一个给大家演示一个有趣的实验

叫做锥体上轨

这是一个梯形轨道

注意啊梯形轨道指的是这面宽这面窄

而且这个轨道还有一个特点是这面高这面低

为了演示这面高这面低呢

我用一个一根铁管呢放在最上面

然后大家观察它的运动啊

这就说明这面比这面高

现在我们把这样一个锥体放在梯形轨道上

问大家它是从梯形轨道的高的一端滚向低的一端呢

还是由低的一端滚向高的一端

然后我们把它放到高处往 高的一端

大家看它并没有产生滚动

它没有从梯形轨道的高的一端滚向低的一端

但是当我把它放到低得一端的时候呢

这个奇怪的想象就发生了

它会从低得一端滚向高的一端

这是为什么呢

大家思考一下

就是要注意这个锥体滚动的时候

它的那个支点的高度

以及它重心的位置还有梯形轨道之间的关系是什么

那么从低到高滚动的话

最关键的因素是什么大家思考一下

大家接着思考一个问题啊

就是这个演示实验当中

这个功能转化关系是什么

思考一下

好 这一小节就讲到这儿

谢谢大家