9.7 温度的统计意义（二）在线视频

同学们好

那上一节课呢

我们引入了分子的运动的自由度的概念

那么据此呢我们可以给出能量均分定理

那什么叫能量均分定理呢

我们说在温度为t的这么一个平衡态下

每一个分子它具有的这个平动自由度

都对应着相同的平均动能

什么意思呢

其实之前我们已经知道了

分子的平均平衡动能等于(3/2)kT

而平均平衡动能又等于什么呢

等于每一维的xyz三个方向的分量上边的

平均平衡动能

那我们看到这又有一个2/3

这什么意思啊

这的意思是说每一个平动自由度

x方向的y方向的z方向的

它都贡献一个kT/2的平均平衡动能

那么我们从这个就可以推广一下

我们说平衡态下

各个自由度地位都应该是一样的

换传成什么呢

不只是平均平动动能是这样的

那么包括分子的转动

包括分子的振动

任何一个运动的自由度

它都会贡献一个kT/2的平均的动能

那么具体的表述就是这样的

在温度为T的平衡态下

物质 这个物质注意到它可以是气体液体固体

它的分子的每一个自由度都具有相同的

平均平衡动能

这就是能量均分定理的说法

那么注意到它的根本的含义就是什么呀

能量的分配是没有优势的

所有的自由度都一样

第二呢 注意到这几个红框下的词

首先 它对物质没有限制

不见得是气体

更不用说是理想气体

它包括任何的气体 液体 固体都可以

第二 注意它的状态必须是平衡态

如果不是平衡态那这个表达式是不对的

第三呢 它说的是平均动能

因此它是一个统计意义的结果

由能量均分定理我们就知道

平衡态下每一个分子的平均平均动能是多少呢

那包括平动动能 包括转动动能 包括振动动能

那么实际上呢

因为每一个自由度都会贡献一个kT/2

所以就把这个自由度加起来求的

那么平动自由度一般来说是3

转动自由度要区分分子

如果是单原子是0

双原子分子是2 多原子的是3

然后最后是振动自由度 这么一个计算

那么关于振动自由度呢实际上是指

分子之间到原子它们之间距离发生的变化

对于简谐振动而言

我们以前算过 简谐运动的动能和势能啊

它的平均值是一样的

这是什么意思呢

我们前边说了

每一个振动的动能呢是贡献了一个kT/2的

这样的一个平均值

那么由于这两个式子是一样的

这说明什么呢每一个振动的自由度

它的势能也会贡献同样的

这样一个kT/2的能量平均值

因此 一个分子总的平均能量有什么啊

除了平均的动能还应该包括平均的势能

而平均势能是和振动的动能是对应起来的

这样分子的总的平均能量

就应该写成这个样子的

这里面的振动要乘以2

因为每一个振动的自由度

同时包括一个振动的动能和一个振动的势能

那么能量均分定理一个更普遍的说法是什么呢

它说啊能量中每具有一个平方项

那么就对应一个kT/2这样平均的能量

那比如说 平动动能

那么对应的就是(1/2)m(v_x)^2的这样一个形式

那么转动动能是什么样的

那比如说就是二分之一转动动量

乘以角速度平方的形式（当然可以是x 方向）

而振动呢 那么还包括势能

势能什么样的(1/2)kx^2这样的形式

它们都是平方项

那么就都贡献一个kT/2这样一个平均能量

那么这个可以通过统计物理来严格的证明

我们在这就不提了

感兴趣的同学可以去看统计物理的相关书籍

那么对于能量而言呢

这里面有一个特殊情况

我们必须要把它分析一下

并不是像我们刚才讲的那么简单

原因是什么呢

根据量子理论

我们说分子无论平动 转动还是振动能量啊

它都不是连续的 是分立的

只不过平动的这个能级间隔是非常非常小

你可以认为它是连续的

而转动的能级间隔呢

大概什么量级呢 是10的-3到10的-5

这样的一个电子伏

对应的温度是多少温度呢

根据刚才的分析我们知道大概是几十k的温度

而振动的能级间隔最大

大概是10的-2到10的-1电子伏

对应的能量呢大概是这么大

对应的温度应该是千K的那么一个级别

那么我们说在室温附近变化的这样一个气体

它的温度当然是小于千K

因此这种情况下呢

它的能级间隔是远远大于什么呀

大于热运动的能量

那么通过热运动是不能激发振动能级的

换句话说是什么呀

振动状态永远都处于基态上

而不会进入激发态

这个时候呢它就不会对能量交换起任何作用

那么这种状态我们称为振动自由度的冻结

冻结的意思是什么呀

你在算能量的时候就不考虑振动自由度

因为它是不起任何贡献的

整个系统处在振动基态

那么这种情况下实际上分子就看成是刚体

刚性的分子 不考虑振动自由度

另外呢 在温度很低的情况下

比如低于几十个开尔文

这个时候转动自由度呢当然也会冻结

整个体系处在转动的基态上边

那么它对能量是没有贡献的

那么这种情况下整个分子就看作是

是一个什么呀 是个单原子分子

只有平均的平动动能

一般的温度下我们就说在室温的附近

我们通常只考虑平均的平动动能和

平均的转动动能

是不考虑分子的平均的振动动能的

也就是它的振动自由度我认为是0

整个分子称为刚性

这个时候呢分子的平均能量

那么只有平均的平动动能和平均的转动动能

没有其它的东西

那么就写成这个样子

对于单原子分子呢

这个里面只有T=3所以是kT3/2

双原子分子呢加上r=2所以是5kT/2

对于多原子分子呢r=3所以是6kT/2

好了 那么有这个基础呢

那我们就可以来分析理想气体它的总的内能

什么叫内能啊

是由N个粒子组成的这样的系统

分子热运动具有的总能量

那么它包括什么呀

包括每一个分子的动能

每一个分子内部的势能

还要包括分子之间的势能

那么就是这个样子

那么对于理想气体而言呢

我们知道它是忽略分子之间相互作用力的

因此分子之间的势能是不存在的

这样呢理想气体它的内能呢

就等于每一个分子所具有的能量的和

那么这个量呢包括分子的平均平动动能

平均转动动能 平均振动动能

和平均振动的势能

而对于刚性分子它只包含两部分

也就是平动动能和转动动能

那么这里的i呢

就是刚才那几个数3/2 5/2 6/2

这样我就知道1mol的理想气体

它的分子的内能为多少呢

在这乘一个阿伏伽德罗常数

然后呢把这个公式合在一起

就变成了理想气体的普适常数

那么ν摩尔ν在下面就可以了

那我们可以看到啊

理想气体它的内能只和温度有关

和理想气体的压强啊

和理想气体的体积啊是没有关系的

那么一般情况下呢我们不做特殊说明

在室温附近我们总是把气体看成是刚性分子

也就是不考虑它的振动自由度

理想气体的内能啊是温度的一个单值函数

那么对于一般的气体而言呢

你要考虑分子之间的相互作用力

所以通常而言内能都是温度和体积的函数

理想气体它比较特殊

那么内能和机械能它有什么关系呢

内能也是能量

机械能也是能量

它的关系是这样的

机械能是一种有序的能量

而内能表示的是

热运动的这样一种无序的能量

这两个能量之间它可以互相转换

但是转化有个条件

那么这也是我们后续要讲的热力学第一定律

和热力学第二定律的这个内容

好 那这节课我们就讲到这儿

那给大家留一个小的问题

我们说理想气体的内能它和体积无关

那好了 我对理想气体它整个压缩做功

能不能改变理想气体的内能

好了 再见