10.9 热容量在线视频

同学好

这一节我们讲热容量

一个物体的热容量我们这样定义

当它温度升高一度的时候它所吸收的热量

我们一般用C′来表示

如果这个物体的物质的量是一个摩尔的时候呢

我们把它叫做摩尔热容量

用C来表示

那它的单位呢就是J/mol・K

这里面这个焦耳啊就是热的单位

因为我们前面讲过热其实是传递的能量

这样呢C′和C之间呢就差一个摩尔数

另一种常用的热容量是比热容比

它是单位质量的物体的热容量

很显然摩尔热容量和这个比热容之间

有这样的关系

这里面这个M呢是摩尔质量

可是这样定义的这个热容量啊并不严格

为什么呢

因为我们前面讲过 热其实是过程量

所以你这个热容量也应该是一个过程量

当你谈到一个物体的热容量的时候啊

你总要说这是什么过程的热容量

你比如说你这个过程当中压强是不变的

这个时候我们说这是定压热容量

我们用这样的一个式子来表示

这里面这个P这个脚标啊就表示

压强是不变的这个过程当中

以前我们知道水的热容量就是比热

它是1卡每克每度

你用国际单位表示的话就是这个量

这里面我们要用到热功当量

那么这个呢实际上是在一个大气压下测量的

所以严格的说这是水的定压热容量

假如你这个过程是体积不变的

那我们就说这是定容热容量

我们用这样的式子来表示

那么呢脚标呢是一个V

你也可以定义任意其它过程的热容量

任何一种过程它都有热容量对吧

那么这样定义的热容量啊

有的时候它可以是负的

有些过程它可以热容量是负的

你比如说理想气体啊

那么不管什么过程

热力学第一定律总是要成立的对吧

假如说某一个过程

这个理想气体是吸热的

那当然这个热是大于0对吧 根据我们的约定

同时在这个过程当中

假如说它也是对外做功的

那当然这个也是大于0的

另外呢 在这个过程 假如说

你做的功啊 大于这个吸的热

从这个式子很容易看出来

这个时候理想气体的内能变化啊

当然是小于0啦

因为理想气体内能是跟温度成正比的

所以内能的变化是小于0的话

它的温度的变化当然也是小于0对吧

所以在这个过程当中你看这个式子里面

温度的改变是小于0的是吸热的

所以这个时候的热容量当然是负的

下面呢我们对理想气体准静态等容过程

做比较详细的研究

看这时候热容量是什么样子的

当然我们说热力学第一定律总是要成立的

因为这是准静态过程

所以气体对外做的功就可以用PdV来表示

那么这是等容过程也就是体积不变的

所以啊这个式子是等于0的对吧

所以这个理想气体吸的热就等于内能的增量

那么这个时候理想气体的等容热容量

当然我们前面给出的定义式是这样的

根据这个它就是等于内能对温度的导数

为什么这个下面的脚标V在这里面不用写呢

因为对于理想气体来说它的内能

只跟温度有关跟体积变化是没有关系的

所以你说体积变也好不变也好

对这个式子来说是一样的

那么我们知道呢这个式子呢和摩尔热容量之间

相差一个摩尔数对吧

我们把这个式子和这个式子联立起来

我们就可以得到下面的这样一个式子

也就是说理想气体的内能增量

其实是跟温度的增量成正比

比例系数呢就是这个

对于理想气体准静态定压过程呢

热力学第一定律总是要成立的

那么对于这个式子我们两边都除以dT

因为这个过程是压强不变的

当然我们还要加一个右脚标P

而左边那个式子啊刚好就是定压热容量

那么这右边这个式子呢

我们代到这里面的话

当然我们就得出了这两个式子

那这里面我们看到啊

对于内能对温度的这个导数

我们这个右下脚标的P啊给去掉

原因是因为对理想气体来说

内能只跟温度有关系

跟这个压强体积啊没有关系

所以说压强变化也好不变化也好

它都是一样的

而对这个式子来说

这是体积对于温度的变化率

那么体积对于温度的变化率

可是压强是不变化的情况

这个我们在数学上啊它有专门的表示

就是体积对于温度的偏导数

当然是压强不变的情况下

那么因为理想气体准静态过程这是

所以理想气体的状态方程还是成立的

那么利用这个状态方程呢

当压强不变的时候

我们就可以把这个体积对于温度的

这个偏导数啊给计算出来

这是很容易计算的对吧

计算过程当然是把这个压强当做常量处理

而这个式子啊我们前面刚刚给过

它是什么呢它是啊定容热容量对吧

而这个呢和定压摩尔热容量之间呢

相差一个摩尔数ν对吧

把这个三个式子里面摩尔数ν约掉的话

我们就得到了一个摩尔的时候

理想气体的定压热容量

和定容热容量之间的关系

我们把它叫做迈耶公式

迈耶这个人呢职业是医生

它业余搞热学研究

它跟这个焦耳 亥姆霍兹等人

为热力学第一定律的建立啊

做出了卓越的贡献

我们再看一看理想气体的情况啊

因为我们知道理想气体的内能

是这样的表达式

所以呢通过我们刚才推导的这些公式啊

我们可以得到这个理想气体的定容热容量

那它的摩尔定容热容量呢

简单的就把摩尔数去掉就行了

根据刚才的这个迈耶公式呢

我们也可以给出定压热容量

有个比较常用的一个常数

叫做比热容比我们用γ来表示

这是什么量啊

它是定压热容量和定容热容量的比值

把这个式子啊代到这里面

我们很容易得到这样一个式子

这里面这个i啊就是我们上一章讲的

对于理想气体来说

如果它是单原子分子理想气体的话

那么这个i是3对吧

如果是双原子刚性分子理想气体的话

那就是5等等啊这么一个量

我们经常用理想气体来近似实际气体

可是这个近似是不是好的呢

你当然要用我们理想气体的这些公式啊

和实验比较看它是不是好

那么在这里面呢

我们把常温下定压热容量

和气体常数之间的比值拿来和实验比较

对于单原子分子气体我们很容易算出来

根据刚才这个公式它是等于2.5的

那么实际气体比如说氩气 氦气

测量的结果是等于多少呢

它们是2.51一个是2.52

你发现单原子气体分子常温下

你用理想气体做近似的话

它是一个很好的近似

如果是双原子分子气体

假设这个双原子分子是刚性的

这个时候我们也很容易把它算出来

它是3.5 根据前面的那个公式

实验测出来结果是什么呢

对于氢气来说这个是3.47

对于氮气来说是3.47

那么空气呢主要是由氮气组成的

所以你把空气当做理想气体处理的话

在常温下这是一个很好的近似啊

对于多原子分子气体

比如说这一个分子啊是好几个原子

当然我们也假设这个分子呢是刚性的

这个时候呢它的这个值啊

我们也很容易计算出来它是4

实验测量的结果二氧化碳气体是4.47

甲烷气体呢是4.28

和我们用理想气体理论计算的结果比较

它还是有出入的

所以多原子分子气体啊

你用理想气体模型的话

它的近似啊在常温下稍微差一些

那么如果温度范围比较宽的情况会怎么样呢

它是一个氢气的这个例子

如果你对氢气测量

定压热容量和气体常数之间的比值

这个温度区域是很宽的从几K到几千K

当然我们前面推导过

这个呢实际上是等于这么一个式子

常温下氢气可以当做是

刚性双原子分子气体

注意这个时候i应该是5

所以算出来的结果应该是3.5

就是这个值啊 常温下

可是你会发现在温度比较低的时候啊

实验测量的结果大概是2.5

而在高的区域呢几千K的时候啊

它又是4.5

那中间呢它是逐渐变化

那么这件事情啊

用我们现在这个理想气体模型

是不好解释的

也就是说我们的这个经典理论啊

它是有缺陷的

为什么呢

因为根据我们这个理想气体模型

这里面这个i啊应该是固定的值

它不应该变化 是吧

可在这里面呢它随着温度它是变化的

那么这个原因呢

只有以后下学期学了量子物理以后

我们才能对它有一个正确的认识

这其实是量子效应造成的

好 这一节我们就讲到这儿 谢谢