5.6 定轴转动的功能原理在线视频

同学们 今天我们讲授

5.6节定轴转动的功能原理

前面我们讲过刚体定轴转动的角动量定理

对轴的合外力矩

等于对轴的合角动量随时间的变化率

把这个式子简单变形一下

我们就得到了力矩对时间的累积效应

力矩对时间的累积效应等于角动量的增量

那么我们很自然的一个问题是

力矩对空间的累积效应是什么

这个就是力矩的功

下面我们讲授力矩的功

这儿是一个刚体做定轴的转动

转动轴为Z轴 角速度为ω

我们任意选定轴上的一点C作为原点

那么刚体上任意一个质点mi

对C的位矢呢是ri

我们知道mi将会在

垂直于Z轴的平面内做圆周运动

圆周运动的半径为ri⊥ 圆心是O点

它的线速度是vi

那么它受到一个力是Fi

在Δt时间之内 力Fi对刚体所做的功是多少呢

根据功的定义呢

做的元功等于力Fi 点乘m点的位移dri

我们知道呢由于质点m

是在垂直于Z轴的平面内做圆周运动

所以它发生的位移肯定在这一平面内

那么Fi只有在这平面内的分量

对这个功才有贡献

所以我们把力Fi进行分解

分解成平行于转动轴的分量

和垂直于转动轴的分量

而垂直于转动轴的分量呢就在这个平面内

我们把质点m运动的这个平面呢重新画在这儿

这个就是质点m运动的平面

这个圆就是它的运动轨迹

那么质点m做圆周运动的半径呢就是ri⊥

圆心呢就是这一点 它的线速度是vi

这个时候呢力Fi在这个平面的投影

Fi⊥呢在这个方向

它与线速度之间的夹角呢是β角

好 我们再回到这个元功的表达式来

Fi 点乘m点的位移dri

根据这个式子呢 我们刚才讲了

已经把力Fi进行投影了

只有在平面内的分量呢对功有贡献

所以呢Fi⊥·dri

根据定义的话dri 这是vidt

好 从这儿到这儿呢 无非用了一个点积的表达式

把Fi⊥vi cos它们之间的夹角β dt

好 下面我们看看这个几何关系

mi做圆周运动 线速度当然是切线方向

切线方向呢和矢径的方向当然是一个直角关系

所以呢如果Fi⊥与这个矢径之间的夹角是α的话

所以α+β显然是90°

我们把这儿cosβ换成sinα 这是一个

第二个呢我们看看这儿 这个是线速度

我们把它换成角速度ri⊥ω

从这个式子到这个式子呢再合并一下

把ω挪到后面来那么Fi⊥ri⊥sinα

合并到这儿来ωdt我们知道是角位移也就是dθ

Fi⊥ri⊥sinα学过前面的同学都已经知道了

这个是什么啊这个就是力Fi对转轴的力矩Miz

所以呢把这个整个式子综合起来呢

Fi在Δt时间之内

做的元功呢等于对轴的力矩乘上角位移

那么所有的合外力做的功的话

只要对所有的元功进行求和就可以了

那么这样的结果呢等于合外力矩乘上角位移

如果刚体定轴转动呢

角度从θ1转动到θ2的话

整个过程里面做的功的话

只要对角位移进行积分就可以了

刚才呢是借助于图形

我们进行了对力矩的功进行推导

如果同学们对矢量的数学比较熟悉的话

我们可以直接用数学进行推导

我们这儿简单的写一下

Fi做的功呢等于Fi点乘它的位移

根据表达式呢位移就等于速度乘以dt

那么速度呢我们可以写成ω×ri

把这个矢量式子Fi点乘ω叉乘ri 的式子呢

进行一下简单的变换以后呢就到这儿

这样以后同学们很容易判断出来

这个括号里边是什么啊ri × Fi这是什么呢

这是力矩 对一个点的一个力矩

那么ω·Mi

如果旋转轴方向的单位矢量是K的话

我们可以把ω写成k乘以ω

那么K这个单位矢量点乘Mi是什么啊

就是Mi在旋转轴方向的分量

Miz ωdt就是角位移

所以我们马上一下子就得到和刚才一样的结果

如果把上面综合起来

力矩的功等于合外力矩对角位移的一个积分

这个就是力矩的空间累积效应

那么力矩既然做了功 功是能量转化的量度

那么能量的变化是什么样子呢

下面呢我们来讲讲定轴转动的动能定理

讲这个之前我们先回顾一下

质点系的动能定理

对任意一个质点系合外力做的功

加上内力做的功等于整个质点系动能的增量

对于刚体来讲

由于内力做的功始终是等于0的

因为它没有相对的位移

所以对于刚体来讲就比较简单了

合外力做的功等于刚体动能的增量

那么合外力做的功呢就是力矩做的功

刚才我们已经推导了 那么对于刚体来讲

它的动能的表达式是如何的呢

下面来看看

这个就是我们刚才讲过的

合外力做的功就等于力矩的功

就等于对转轴的力矩对角位移进行积分

M呢我们对于刚体的定轴转动定律

M呢等于Jα J是对轴的转动惯量

α是角加速度

我们把角加速度根据定义呢

就是角速度的时间变化率

dθ/dt呢就是ω 就是角速度

好 如果刚体做定轴转动的时候

如果转动惯量不随时间变化的话

我们就会把这个式子积分出来

等于(1/2)Jω2的平方减去(1/2)Jω1的平方

如果把这个式子

与一般质点系的动能定理进行比较的话

这个呢就是功

那么等号的右边就应该是动能的增量

很显然刚体定轴转动的动能表达式呢

就可以写成(1/2)Jω平方

J呢就是对轴的转动惯量ω就是角速度

所以刚体定轴转动的动能定理可以写在这儿了

刚体定轴转动它做的功呢

等于刚体定轴转动的动能的增量

而动能可以写成(1/2)Jω2

推导这儿的式子的时候我们用到了几点

第一个呢用了刚体定轴转动的转动定律M=Jα

另外还用到了两个定义

一个呢角加速度等于角速度的时间变化率

而角速度呢等于角位移的时间变化率

那么同学可能会问这样一个问题啊

刚体做定轴转动的时候

每个质点呢都做圆周运动

那么每个质点具备的动能(1/2)mivi2的

所有质点的动能的和

是不是就和我们刚才

推导的动能的表达式是一样的呢

答案肯定的 那么我们不妨再写一下

第i质点的动能是(1/2)mivi2

对所有的质点求和动能求和的话

就应该是总动能了

我们把第i个质点的线速度呢用角速度来表示

vi=ri⊥ω

ω呢 刚体做定轴转动的时候

ω呢对所有的质点都是一样的

求和呢可以放在求和号的外面去

那么整个求和就是miri⊥的平方

同学们看看这个是什么这个求和的表达式

就是刚体定轴转动的时候对转动轴的转动惯量J

所以呢我们的结果是

把每个质点的动能求和以后

就得到整个刚体的总动能

而整个刚体定轴转动的总动能呢

就是等于(1/2)Jω2

好 这样同学就放心了

综合表达式也可以看得出来呢

对一个刚体定轴转动来讲

如果他的角速度越大的话它的动能就越大

这个似乎是显而易见的

所以我们可以用这个原理呢进行储能

比如说一个飞轮

我们可以把能量储存在飞轮里边去

而让飞轮转动

需要的时候呢再把这个能量释放出来

第三点呢 如果把刚体放在重力场中

那当然这个时候如果我们

把刚体和地球整体做一个系统进行研究的话

那么这个刚体所受到的重力就是内力

而且是一个保守内力

在这种情况之下的话我们就考虑到重力势能

那么刚体的重力势能是如何表达的呢

我们来看看 这儿是一个刚体

C呢是它的质心

我们选择地面作为重力势能的0点

那么这个质心呢距离地面的高度是hc

任意一个质点mi 它的高度是hi

我们把所有质点的重力势能求和的话

就是整个刚体的势能了

第i个质点的势能呢是mighi

这儿呢我们如果考虑啊刚体不是很大

我们可以忽略刚体上

每一点重力加速度的变化的话

我们可以把重力加速度当成常数

把重力加速度移到前边去

然后在后面对mihi进行求和

那么进行了一个简单的变化

这儿乘以一个m 这儿除以一个m

同学们看到这个式子

这个式子是什么呢

前面我们讲过质心的坐标

这个就是质心的高度hc

所以呢我们把刚体的整个的势能就等于mghc

hc就是质心的高度

我们选择的重力势能0点呢是地面

好有了动能 有了势能 那我们就得到机械能

机械能无非是动能加势能

如果我们把刚体和地球作为系统

这个系统里面如果只有重力做功的话

这个系统呢机械能是守恒的

所以这种情况之下呢动能加势能就是一个守恒量

那么我们解决实际问题的时候

往往用到这个表达式

在这儿举一个例子

这是一个均匀的细杆

质量是m 长度是l

绕这个O点的垂直轴可以做无摩擦的一个转动

这个O距离端点的距离呢是l/4

刚开始的时候呢这个轴是水平放置的

当这个轴向下放开手以后

向下转动到θ角的时候

那么它的角速度是多少呢

我们解决这样的问题

显然在刚才的这个例子里面

如果考虑杆和地球作为我们的研究对象的话

只有重力做功

重力当然是个保守内力

所以呢整个系统的机械能是守恒的

我们选择水平位置的时候

作为重力势能的零点

这样的话我们可以写成当角度为θ的时候

它的机械能等于多少呢

等于动能这个时候假如角速度是ω的话

等于(1/2)j0ω的平方

jo是什么呢 相当于转动轴的转动惯量

这个后面呢-mg(l/4)sinθ呢

就是在转动角为θ的时候

它的重力势能那么等于0

为什么等于0呢

因为水平放置的时候是不动的 动能等于0

因为我们选择的这个时候呢

是重力势能的0点所以势能也等于0

所以呢机械能是等于0的

这儿呢我们再用到了运用平行轴定理

可以求出来整个杆相对O轴的转动惯量

相对于质心的转动惯量是(1/12)ml2+md2

这个d呢就是l/4

我们得出来转动惯量是(7/48)ml2

把这个式子代到这个里面来

一下子我们就得到我们需要的结果了

好 今天我们就讲到这儿