4.12 流体的定常流动*在线视频

大家好 我们从这一节开始学习流体

我们分两小节给大家介绍流体

那么这一小节学习流体的定常流动

在这一小节当中呢

我们介绍一些基本概念

介绍流体的运动特征

对于流体运动的描述呢有两种方式

一种是拉格朗日法

拉格朗日法就是传统的质点系方法

它关注的就是流体当中的每一个质元的运动

跟踪每一个质元的运动

这个质元的运动轨迹呢称为迹线

另一种方法呢

就是欧拉提倡的方法 是一种场论的方法

它关注的是空间每一点处流体的流速

以及流速随时间变化的规律

这就是一个流速场

在这个流体运动过程当中有矢量场

流速场就是这个矢量场

当然也有标量场

比如说密度和压强这就属于标量场

欧拉的方法是大家常常采用的方法

我们下面就用欧拉的方法进行讨论

我们给大家先介绍两个基本概念

流线和流管的概念

我们学习静电场的时候都知道

我们引入了电场线的这个概念呢

来形象的让大家理解电场的空间分布

同样在学习流体当中呢

我们引入流线的这种概念

用一种形象化的方法帮助大家

认识流体运动过程当中这个速度场的分布

这个流体的运动特征

流线的定义是这样 就是规定

流线的切线与这个点处的流体运动的方向

或者说流速方向是相同的

这是一个圆柱体静止不动周围有流体流动

这个黑色的箭头线呢就是流线

那么我们在这个点处呢做一个切线

这个蓝色箭头呢

就代表这一点处流体的运动方向

也就是流速的方向

这就是流线的概念

大家要注意的就是 在给定时刻

空间中的速度的分布呢是和

该时刻空间中的流线的分布是相对应的

也就是说 流线的分布呢

就反映了流速场的分布

流速场的空间分布

另外一个要注意的呢就是流线一般不相交

第二个概念呢 就是流管

流管就是由流线所围成的细管

大家看一下这个图 这有一个管状物

这个管状物的侧面呢都是由流线构成的

这样的管状物就称为流管

接下来我们介绍连续性方程和质量守恒

我们会考虑这样一个问题就是生活当中

比如说我们看到某个地方有液体流动

那么考察一个局部空间的话

我们会观察到这个局部空间内的液体的量

会增加或者减少

那么这个局部空间液体的量的增加和减少

和什么有关系呢

当然和它内部的液体流动

以及它周边液体的流动有关

也就是说液体的流动和局部空间范围内

液体的量的增加和减少是有关系的

那么我们要把他们之间的这个关系找到

这个关系就是由连续性方程来反映的

那么我们首先定义几个基本概念

第一个概念是流量的概念

流量是这样定义的 就是单位时间内

通过一个曲面的流体的体积或者质量

也就是说流量有两个定义

一个是体积流量 一个是质量流量

为了求一个通过一个曲面的体积流量

或者质量流量

我们首先来研究一个小的面元的

它的体积流量或者质量流量

这个ds呢就是一个小的面元

我们把它定义成矢量面元

它的法向由这个红的箭头表示

在这个小的面元处的流速呢是v

它和这个面元的夹角

就是这个法向的夹角是θ

这个ds⊥ 是垂直于这个流速的一个面元

ds⊥也就是相当于ds的一个投影

沿着v方向的一个投影

那我们思考这样一个问题就是说

在这个dt时间内穿过ds这个面元的

它的流体的体积和质量是多少

大家看这个图啊

是不是在dt时间内通过面元ds的

流体的体积或者质量

是和单位时间内通过ds⊥这个面元的

流体的体积和质量相同

对吧 应该相等

那么通过这个ds⊥的这个流体的体积是多少呢

我们把这个体积写成dV啊

我们写出来是这个表达式

大家看这个表达式就是

这括号里头vdt就是指在dt时间内

这个流体沿着v这个方向的运动的距离

这个距离再乘上这个ds⊥的这个截面的面积呢

就是一个柱体的体积

这个柱体体积就是

单位时间内通过ds⊥的流体的体积

也就是单位时间内通过

这个面元ds的流体的体积

那么ds⊥我们刚才说了

它是ds这个面元的沿着v方向的投影

它就应该等于ds乘以cosθ

那么我们把dscosθ和v合到一块

用矢量来表示出来 那就是v・ds

最后整理出来的结果就是这样

就是这个 dV=v・ds・dt

如果我们把dt除过去的话

得到的就是通过这个小面元ds的体积流量

它就是v・ds

下面就是单位时间内通过这个ds面元的

流体的质量是多少呢

那就是用密度乘上dv就可以了

我们把它记作dm=ρdv=ρv・ds・dt

同样如果把这个dt除到等式的左边

得到的就是穿过这个ds小面元的质量流量

好了现在我们清楚了对一个小面元而言

它的体积流量和质量流量的话

那么对于一个给定的曲面的

体积流量和质量流量很容易得到

这个怎么计算呢

s是一个给定的曲面

我们就把这个s这个大的曲面呢分割

分割成无穷多个小的面元

每一个小的面元的体积流量和质量流量

分别就是v・ds ρv・ds

那么我们把每一个小的面元的

体积流量和质量流量累计求和

就得到了这个大的曲面s的

体积流量和质量流量

这个我们写出来就是这样

体积流量我们用Qv来表示 它就等于v・ds

然后对这个曲面s进行积分

刚才这个求和呢

对应的就是这样一个曲面积分

质量流量也是这样

我们把它记作Qm 它就是ρv・ds

然后对s这个曲面进行积分

这个曲面积分对应的也是一个累计求和

我们通常会遇到讨论这个一个封闭曲面的

它的体积流量和质量流量

这个时候我们要规定这个封闭曲面的法向方向

我们通常是这样规定的

就是规定对于一个封闭曲面呢

规定它的外法向方向为正

下面我们就来回答我们刚才那个问题

就是我们观察一个局部空间内

它的这个流体的量的变化

和这个流体的流动之间的一个关系

也就是连续性方程 我们要把它找出来

我们在空间中任选一个封闭曲面

那么我们考察对这个封闭曲面呢

它的质量流量应该满足什么条件

这个封闭曲面我们用这个s来表示

它包围的体积是V

流体在空间中流动

那么对于这样一个封闭的曲面s而言

它的质量流量是什么

根据质量流量的定义呢我们知道

它表示的含义就是说

单位时间内通过这个封闭曲面

由封闭曲面内流到封闭曲面外的流体的质量

那么这个由封闭曲面内流到

封闭曲面外的流体的质量

这个质量损失等于什么呢

当然就应该等于单位时间内

封闭曲面内包含的流体的质量的减少

所以这个数学表达根据我们的讨论

把它写出来是这样的

左边的这个代表封闭曲面的质量流量

右边呢代表单位时间内

这个封闭曲面内所包围的流体的质量的减少

这个负号呢就表示减少的意思

对于等式的右边这部分呢

当我们这个封闭的曲面选定之后

这个体积就是定的 这个体积元也是定的

就是跟时间都无关

那么这里头跟时间有关的就是这个密度ρ

所以我们可以把这个求导放到积分号里面

变成只是ρ对时间求偏导

那么整理完的结果就是这个

这个就是连续性方程

它的本质就是我们刚才讨论的

它的本质实际上反映了质量守恒

就是单位时间内从这个封闭曲线内

净流出的流体的质量应该等于单位时间内

这个封闭曲面所包围的流体的质量的减少

所以它的本质是反映了一个质量守恒

当然也反映了一个局部空间内流体的量

和这个流体流动之间的一个相互关系

什么是理想流体呢

理想流体的定义是这样

是不可压缩的 无粘滞性的流体

既然不可压缩嘛

这就意味着理想流体的密度是一个常数

什么是定常流动呢

定常流动的含义是这样

是空间每一点处的流体的流速是随时间不变的

也就是说这个速度分布呢是固定不变的 在空间

是固定不变的 不随时间变

如果速度分布不随时间变的话

速度的空间分布不随时间变的话

那么相应的这个压强和密度呢

它的空间分布呢也不随时间变

根据这个定义呢 我们马上可以得到

做定常流动的流体有一个重要特征是什么呢

就是对任意一个封闭曲面它的质量流量为0

那么我们回去看一下

根据连续性方程我们看

这个定常流动的流体的特点

就是它这个密度的空间分布呢不随时间变

也就意味着密度对时间偏导数等于0

这样我们就得到这个对任意的封闭曲面

它的质量流量等于0

质量流量为0呢 我们结合这个图看

它的另一种等价的说法是什么呢

就是这个流线呢必须是连续的不能中断

也就意味着有多少流线从这个

比如说这个图的左侧穿进来

就有多少流线从这个右侧穿出去

总是维持这个封闭曲面内

所包含的流体的质量不变

也就是这一项不随时间变 它等于0

它的时间导数等于0

所以等价说法啊就是说对任意封闭曲面内

对任意封闭曲面的质量流量为0

等价说法就是这个流线是连续的不能中断

我们回来啊

这个式的等价说法就是和流线连续等价

这样的话 我们就得到这么一个结论

就是对于定常流动它特点应该是说

空间的速度分布不变

那么空间的流线分布也不随时间变

也就是说流线分布呢已经固化在空间

那么这个流体的流动呢

就必须沿着流管流动

流体只能在流管当中流动

不能在这个流管的侧面出入

如果在流管侧面出入就表示

下一时刻这个流线随时间变

但是我们说了 定常流动的话

这个速度的空间分布不变

那么流线的空间分布也不随时间变

固化了 所以呢 流体只能在流管内流动

不能从流管的侧面出入

大家要注意的就是

定常流动呢跟参考系有关

比如说一块木板在水中匀速运动

那么如果我们以地面为参考系观察的话

木板周围流体呢不是定常流动

但是我们换一个参考系

选一个和板相对静止的参考系去观察的话

那么这个木板周围的流体呢就是一个定常流动

我们最后讨论一下理想流体的定常流动

理想流体我们刚才说了它是不可压缩的

它的密度等于常量

而定常流动的特征是

对任意封闭曲面的质量流量等于0

那我们可以把那个密度提出来

如果对理想流体做定常流动的话

我们可以把密度从积分号里提出来

这样就得到了对理想流体而言呢

它如果做定常流动

它对任意封闭曲面的这个体积流量等于0

体积流量为零

我们回去了

就是说对理想流体而言这个ρ是一个常量

可以提到积分号外

马上就得到了对任意封闭曲面的

它的体积流量为0

那么对于任意一个细的流管

我们可以有这么样一个关系

这是一个细的流管

我们在细流管上选了两个小的截面

把它定义成矢量面元 Δs1和Δs2

这个两个截面处的流体的速度分别是v1 v2

那么根据这个对任意封闭曲面的体积流量为0

我们可以证明这样一个关系式

就是对于任意一个细流管呢

就是v1・Δs1=v2・Δs2

这个证明提示大家一下

我们就选这个流管以及这两个截面

构成一个封闭曲面

然后利用这个表达式来得到这个

要注意的就是 大家注意

这个流体流动的时候是不能从侧面出入的

所以选择这样一个封闭曲面

计算体积流量的时候呢

这个侧面是对积分没有贡献的

只有前后两个截面有贡献

这样马上得到这个关系

那这个关系也说明什么呢

说明这样一件事

如果这两个截面选的是横截面

就是它的法线呢是和速度方向一致的

那就意味着

对于做定常流动的理想流体而言呢

这个横截面小的地方流速大

横截面大的地方流速小

这个特征要记住 我们下节课会用

那我们根据这个关系呢

我们最后得到

对于做定常流动的理想流体而言

我们任选一细管呢

它的体积流量是恒定的不变的

它的质量流量也恒定不变

好 这一小节就讲到这 谢谢大家