5.8 进动*在线视频

现在呢我们讨论5.8节刚体的进动

首先呢我做一个演示实验

来说明一下进动现象

这是一个圆盘

这个呢是它的对称轴

这个对称轴呢是通过质心的

这是一个支点这是一个支架

我现在把这个支点放在支架上

会发生什么事呢

毫无疑问会倒下

现在我让这个圆盘呢高速的旋转起来

看看怎么样呢

现在这个圆盘已经高速的旋转起来了

我把这个支点放在支架上

大家看到呢

这个圆盘的自旋轴绕着竖着的这样一个轴啊

在旋转

我们把自转刚体的自转轴

绕着另外一个轴旋转的现象称为进动

正如在刚才演示实验里面看到的

高速旋转的物体其自转轴

绕另外一个轴转动的现象称为进动

那么为了把我们的注意力呢

集中在进动这个基本概念上面

我们只讨论了一个特殊刚体的进动问题

什么特殊刚体呢

也就是质量分布啊轴对称的这样一个刚体

那么对于这样的刚体

它的角动量有什么特点呢

我们先举一个简单的例子

两个质点m1和m2

用一根轻质的细杆呢连起来构成一个刚体

我们先把刚体呢水平放置

绕着一个竖直轴呢做定轴的转动

这个轴呢是通过这个杆的中央位置的

好 现在呢我们在这个旋转轴上呢

选择了一点O点

我们现在讨论m1和m2

相对于O点的角动量是多少

很显然我们先一个定义吧

先定义呢对O点的角动量啊整个系统啊

整个刚体对O点的角动量呢我们写为Lo

那么对这个转轴的角动量呢写成Lz

先讨论质量不对称的情况

也就说m1和m2不相等的情况

这儿假设呢m2大于m1

正是m2大于m1

所以呢P2这个动量啊是大于P1的

那么m2和m1对O点的角动量呢

可以分别写为L2o和L1o

由于呢P2是大于P1的

所以L2o是大于L1o的

那么L2o和L1o合成的总的角动量呢

我们可以写在这儿了

从这个几何关系很容易发觉

合成的总的角动量

也就是这个简单刚体的总角动量

Lo呢和z轴呢是有夹角的

也就是说对于这个轴上O点的角动量

不等于对轴的角动量

它们之间是有夹角的

如果对称的情况

如果m1=m2又怎么样呢

很显然如果m1=m2的话 L1o=L2o

当然大小了

那么合成的总角度量Lo呢

显然是沿着旋转轴的

也就是说如果m1=m2的话

整个刚体的总角动量对O点的总角动量

就等于相对轴的角动量

更一般呢我们可以证明

任何质量分布轴对称的刚体

对于旋转轴上一点的角动量

就等于相对轴的角动量

好这儿呢我们可以简单的说明

用对称性原理呢就可以简单的说明

比如说这是一个刚体

这是它的对称轴也是它的旋转轴

那么对称轴上呢有一个参考点O点

由于呢这个是它的一个对称轴

言下之意呢

如果这个刚体旋转一个角度以后

比如说旋转一个180以后

这个刚体的状况呢和原来的状况是一样的

假如对O点的角动量啊

有一个垂直于旋转轴的分量

也就是如图所示的分量

把这个刚体呢旋转180°以后

这个角动量呢就会变到这个位置

根据我们刚才的分析

由于这个刚体呢是关于旋转轴是对称的

按理说旋转180°以后的状态

和以前的状态是一模一样的

也就是说它的角动量也应该是一样的

这个显然呢和这种分布情况是不相吻合的

所以呢根据对称性原理我们很容易证明

对于一个轴对称的

质量分布轴对称的一个刚体啊

它对旋转轴上某一点的角动量

和对轴的角动量啊是完全相同的

我们呢只讨论这类刚体的进动

好 我们举一个玩具陀螺旋进的例子

我们具体分析一下

这是一个玩具陀螺

这个是它的对称轴也是它的旋转轴

旋转的角速度呢是ω

显然角动量呢也是沿着这个方向

那么与地面呢有一个支点O点

那么这个角动量的方向呢

与竖直轴呢有一个夹角θ

当然它的一个质心呢在这个地方

质心呢贡献一个重力矩

根据我们刚才看到的实验里面看到的

在重力矩的作用之下

这个角动量将会绕竖直轴进动

好我们来分析一下这种现象

原来的角动量呢是这个方向

根据角动量定理

力矩呢等于角动量随时间的变化率

由于重力矩的作用呢在Δt时间之内

这个角动量就有一个增量

角动量的增量呢是Mdt

那么如果Δt比较小的话

这个dL角动量的增量呢

是平行于重力贡献的力矩的

也就是在如图所示的情况之下

是垂直于角动量的

是垂直于这个平面的

垂直于我们所示的平面的

如果一个矢量任何时候的一个增量

总是垂直于它本身的话

那么这个矢量啊只改变方向而不改变大小

也就是说

这个角动量啊将会在一个圆锥面内做旋进

如果更清楚的啊来看这个矢量关系的话

我这儿再举一个简单例子

这是一个玩具陀螺

它的角动量呢是这个方向

那么重力矩的方向呢是向着我们的

原始的角动量呢是这个方向

有了一个垂直于它本身的角动量的增量

以后呢它的角动量变成这个样子了

那么从这个图啊很清楚的看得出来

而这个时候的

叠加了一个增量以后的角动量啊

和原来的角动量啊都在这样一个圆锥面内

大小呢是相等的

下面呢我们讨论进动的角速度

那么什么是进动的角速度呢

我们还举刚才这个玩具陀螺的例子

这个玩具陀螺呢

有一个初始的角动量是这个方向

与竖直方向的夹角呢是θ

那么这个角动量旋进以后

这个角动量端点呢将会做一个圆周运动

这个圆周运动的半径呢

很显然通过这个几何关系是Lsinθ

这个圆心呢是O′ 点

好经过一个Δt时间以后

这个角动量L呢旋进到这儿来了

到OP2这个位置

这个时候角动量增量很显然是这个矢量

它对O’点的张角呢是dΘ角

我们定义啊dΘ角对时间的变化率

就是旋进的角速度

那么我们下面来计算一下这个旋进的角速度

与哪些量有关系

好

根据几何关系的话很容易看出来

这个呢是角动量的增量

在这个等腰三角形里面

p2O′P1这个三角形里面呢

我们知道dL取绝对值等于LsinθdΘ

这个是等腰三角形

另外呢我们用转动定理的话

力矩等于角动量的时间变化率

把这个角动量代到这里面去

我们看见了dΘ/dt呢

就是我们要求的旋进角速度

可以代到这里面来

这样呢我们可以很轻易的把旋进的角速度呢

写出来

旋进的角速度呢等于力矩除上呢Lsinθ

θ呢是初始这个角动量啊与竖直轴方向夹角

L呢就是它的自旋的角动量

当然对于一个定轴转动的

这样一个刚体来讲的话

它的角动量的话显然等于

它的转动惯量乘以呢角速度

下面呢我们对这个式子呢进行一个简单的讨论

在这个式子里面呢很容易看出来

如果角速度啊刚开始自转的角速度越大的话

也就是说刚开始自转的角动量越大的话

那么旋进的角速度是越小的

这个呢似乎也是可以理解的

因为原来旋进的角动量越大

那么重力矩贡献的角动量的增量

相对于原来的角动量来讲似乎是一个小量

所以呢旋进的角速度呢就会变小

另外呢我们还可以看出来

如果这个玩具陀螺啊

它的质心在这一点的话

它与支撑点的距离啊假如说s的话

我们可以把这个重力矩呢具体写出来

等于mgssinθ

代到这个刚才这个式子里面去

分子和分母上分别有一个sinθ

我们可以把sinθ消掉

这个时候大家就会发觉

这个时候呢旋进的角速度啊

与θ角啊没有关系

那么我们还可以对玩具陀螺这个现象

做一点儿讨论

因为玩具陀螺为什么能够进动

就是因为有一个重力矩

如果合重力矩为零的话

它不应该进动 这是第一点

第二点呢我们还发觉

如果自旋的角动量反号变成这个方向

但是重力矩的方向是不变的

这样我们就会发现呢

这个旋进的方向呢将会反向

下面呢我们通过一个实验来验证这两点

下面呢我要用演示实验来说明呢

我刚才得出的三点结论

这是一个刚体系统

那么这是一个车轮

这是一个平衡的重物

现在呢我让这个整个系统呢保持水平

也就是质心呢正好在支架的这个地方

现在呢我要让车轮呢旋转起来

大家看看有没有进动这种现象

基本上这个时候呢是没有进动的

因为这个时候的重力啊重力正好在支撑点上

重力矩呢这儿没有贡献

现在呢我把这个平衡重物呢

向我的右方移动一下

使重心呢落在这一点偏离了这个支撑点

好我现在让车轮不转动的时候我松手

显然整个系统倒下了

我现在呢让这个车轮呢旋转起来

进动发生了

我们可以用表啊来测算一下进动一周的周期

如果我把这个重物啊向我的左方移动

显然它也会倒下不转的时候

我让这个车轮呢

沿着和刚才同样的方向转起来

进动呢也发生了

但是注意到现在进动的方向呢

和刚才进动的方向是相反的

现在呢我保持一个平衡物呢位置不变

我来改变这个车轮转的旋转的速度

我们看到的现象有什么区别

我现在呢让它稍微快一点转起来

脑子里面呢给现在进动的这种现象有一个印象

等一会儿呢我来把这个自转的速度降下来以后

大家看到的现象和现在的现象进行一下对比

我现在转速呢明显的比刚才转速慢了

大家会看到什么现象呢

我们会看到两点

第一点呢显然旋进的角速度呢变快了

第二点呢在旋进的同时呢

大家会发觉呢

这个车轮呢在上下的摆动

我们把车轮的这种上下的摆动呢称为章动

下面呢我们讲讲为什么会产生章动呢

刚才呢车轮进动的实验呢

恰好呢验证了

我们上一章PPT上红字显示的三点结论

除了看到的进动之外呢

我们还发觉这个车轮呢

在进动的同时还在上下的这种摆动

周期性的摆动

那么我们把这种摆动啊称为章动

也就是说自转轴在旋进中

出现了微小的上下的周期性的摆动

我们称为章动

那么为什么会出现章动呢

为什么会向下摆动呢

我们可以用角动量守恒呢来简单的说明

这是一个还是以玩具陀螺为例

这是一个玩具陀螺

刚开始的时候呢自旋角动量是这个方向

与竖直轴方向的夹角呢是θ角

在竖直方向的分量呢是Lcosθ

那么重力矩的方向是水平的

在竖直方向呢是没有力矩的

也就是说在竖直方向呢角动量是守恒的

现在呢在重力矩的作用之下

这个玩具陀螺呢做旋进运动

那么又增加了一个旋进的角动量

如果这个θ角不变的话

那么就意味着在竖直方向的角动量啊

就变化了就不守恒了

那么为了维持角动量守恒

所以呢这个角度呢必须增加这个角度

也就是说呢这个陀螺呢会向下的摆动

也就是说陀螺向下摆动

是角动量守恒的要求

那么为什么周期性的摆动呢

那么刚开始的时候

这个玩具陀螺呢会向下突然一个摆动

这个摆动呢如果阻力比较小的话

将会过冲过去

如果完全没有任何阻力的话

它应该做一个近似一个简谐振动

当然由于阻力的存在呢

这个上下周期性的摆动呢终会停止

那么这个刚才呢是一个定性的一个讨论

如果定量来说的话

实际上刚体一旦进动了以后

它的总角动量啊就应该等于

自旋的角动量加上呢旋进的角动量

也就是说总的角速度呢就等于

自旋的角速度加上进动的加速度

刚才我们讨论的时候

如果刚体啊高速的自转

那么自转的角速度啊

远远大于自旋（旋进）的角速度的时候

我们可以把自转的角速度啊

近似等于总角速度

这个呢就是我们刚才讨论的那样

但是如果这个自转的角速度不是很大的话

那么这个旋进的角速度啊就不能忽略

如果把这一项考虑进去以后

我们自然而然的如果解方程的话

就会得到章动这种现象

好 今天呢我们就讲到这儿

下次再见