4.10 克尼希定理在线视频

大家好 这一小节我们学习克尼希定理

克尼希定理讲的是三个动能之间的关系

一个是质点系在惯性系当中的动能

一个是在质心参考系动能

还有一个动能是我们要定义的质心的动能

质心相对惯性系的动能

我们知道质心系是一个零动量参考系

就是在质心系里去看

质点系的总动量它等于0

质心的速度呢

相对于质心系的速度是等于0的

那在质心系当中质点系有一个动能

这打撇的量都表示相对于质心参考系的量

这个动能我们也称作是质点系的内动能

现在假设有一个惯性系

在惯性系当中呢

每个质点相对于惯性系的速度呢

可以用伽利略变换得到

这个是绝对速度 这个是相对速度

这个是牵连速度

vc就是质点系的质心相对于惯性系的速度

在惯性系当中呢质点系也有动能

就是把每一个质点的动能求和就可以了

我们再定义一个新的动能

称为质心的动能

是相对于惯性系的动能

这是质点系的总动能

我们再定义一个动能称为质心的动能

它等于1/2的质点系的

总质量乘上质心的速度的平方

这个称为质心的动能

那么克尼希定理谈的就是

这三个动能之间的一个关系

这关系是什么呢

就是质点系的总动能

等于质点系的内动能加上质心的动能

下面我们就证明这一点

这个证明也很简单

我们把这个伽利略变换关系呢

代到这个总动能的表达式当中然后展开

利用这个零动量参考系的条件

马上就可以得到了它们三个之间的关系

这是总动能的表达式

我们把vi呢 用伽利略变换关系代一下

那么就会出现(viˊ+vc)·(viˊ+vc)

这个点乘的结果会出现Viˊ的平方Vc的平方

然后还出来一个2倍的交叉项 它们俩点乘

我们展开把它写出来

这个第一项呢对应的就是质点系的内动能

最后这一项呢对应的就是质心的动能

中间是交叉项

大家看这个交叉项 我们刚才说了

这括号里头的这个表示的就是

质点系相对于质心参考系的总动量

根据零动量参考系特点呢

我们知道它等于0 这项等于0

这样呢我们就得到了这三个动能之间的关系

就是质点系的总动能等于

内动能加上质心的动能

这个就是克尼希定理

那下面我们举一个简单的例子就是

讨论一下两个质点系统的内动能

在惯性系当中呢

我们假设这两个质点的速度分别是v1 v2

质量是m1 m2

那么质心的速度呢就是

这两个质点的速度的质量加权平均

质心的动能呢就是1/2

这两个质点的质量之和乘上质心速度的平方

现在我们看这两个质点系统的内动能

在质心系当中它们俩的动能之和是内动能

等于什么呢

根据克尼希定理

它应该等于两个质点在惯性系当中的动能

减去质心的动能

那么我们就把这个惯性系当中的动能写出来

然后减去那个质心的动能

写出来是这样的一个表达式

前两项之和呢就是惯性系当中的动能

后面这一项呢就是质心的动能

这个质心动能就是把这个vc代到这里头

然后再代到这表达式当中 得到这个结果

往下推导我们不推了 就是大家展开

然后化简 最后得到的结果很简单

这个两个质点的内动能呢就是等于1/2

它们的质量相乘比上它们两个质量相加

然后再乘以两个质点的速度差的平方

这个两个质点的速度差呢

就是两个质点的相对速度

然后我们把这个 两个质点的质量之积

除以质量之和呢

我们定义成一个新的量叫做约化质量

我们令这个vr呢是相对速度

这个μ呢就是约化质量

这样的话两个质点系统的内动能

就写成非常简单的形式

就是等于1/2约化质量乘以相对速度的平方

这就是两个质点系统的内动能

在有些情况下呢

这两个质点系统会出现这样的情况

就是这两个质点的质量相差非常悬殊

比如说m2这个质点的质量

远远大于m1这个质点的质量

这时候约化质量大家看

近似的就是m1这个质点的质量

就是μ约等于m1

在这种情况下呢

两个质点系统的内动能呢就近似的等于

1/2质量较小的那个物体的质量

乘上相对速度的平方

像这个飞船-地球系统就是这样的

飞船的质量远远小于地球的质量

它们两者的约化质量呢

就近似等于飞船的质量

那飞船相对与地心参考系的速度呢

就是这个两者之间的相对速度

注意 为什么说是相对于地心参考系的

因为这个时候我们把地球当作了质点

所以这个飞船相对于地球这个质点的速度

本质上是相对于地心参考系的速度

那么对于飞船-地球这个两质点系统呢

在它们质心系当中

它们的动能也就是内动能

就是等于1/2的飞船的质量

乘以飞船相对于地心参考系的速度平方

那么这个动能也就是

飞船相对于地心参考系的动能

所以如果采用质心系的话

讨论飞船地球系统

那么在这个参考系当中

是不需要考虑地球动能的

好 这一小节就讲到这儿 谢谢大家