3.9 质点角动量、角动量定理在线视频

同学好 这一节我们讲质点的角动量和角动量定理

我们用差积来定义角动量

假设L表示角动量的话它就等于r×p

这里面这个r呢是个质点相对于某一点的矢径

p呢是这个质点的动量

所以我们谈到角动量的时候

总得问你这个角动量是相对于哪一点的

因为它跟这个矢径联系在一起

我们给一个例子

讨论一下一个质点做椭圆运动的时候的角动量

那么我们知道行星运动的时候呢它是椭圆运动

太阳是在焦点上

所以我们这个时候问

这个质点相对于这个焦点它的角动量是多少呢

根据这个定义呢我们知道它是r×p 对吧

那么它的大小呢

大小就是这个动量乘上这个矢径r

再乘上它们之间的这个夹角的sin

注意它应该表示为mvrsinα

它的方向呢方向是用叉积来表示的

所以r×p 也就是说r的方向转到速度的方向

这个时候呢这个右手螺旋拇指指的方向

就是角动量的方向

就是这个方向

它是垂直于这个r和速度构成的这个平面

再看一个例子 假如说一个质点做直线运动

这个时候呢它相对于某一点o的角动量应该是什么样的

当然我们还是要用r×p

那这个时候这个r啊就是质点相对于o 点的这个矢径

那么它的大小呢就是动量乘上rsinθ

这个θ实际上就是矢径和这个v之间的夹角

假如我们现在把这个质点的(运动)直线用虚线来表示出来的话

那么r乘上sinθ实际上就是这个o点到这个直线的距离b

所以这个大小呢也可以表示成mvb

那么这个角动量的方向呢

当然是r×p这个用叉积来表示啊

所以它是r×p 所以这个是垂直于这个版面向里的

就是这个

那么相关于这个角动量的运动规律应该是什么样的

假设我们对某一个角动量 对时间求导数

这时候因为它是r×p 所以它的导数可以分成两部分

因为这个r一点实际上就是这个质点的速度

所以它的方向和p的方向是一致的

所以这两个互相平行的矢量的叉积当然是等于0

因为它们之间夹角是0 sin0°就是等于0的

这一项呢 这一项里面动量对时间的变化率实际上就是力

这样呢它就等于r×F 也就是这个质点所受到的力矩

把它整理一下我们就得到

这个质点所受到的力矩呢

就等于这个质点的角动量随时间的变化率

因为我们在这里面涉及到这个矢径r

所以角动量也好力矩也好

它总是相对于同一点而言的

而且我们在这里面用到了动量的时间变化率是等于力

这是牛顿第二定律啊

它是在惯性系成立的

所以我们说你所相对的那一点的角动量也好力矩也好

实际上那一点应该是在惯性系的

所以我们说这个式子呢 和原来的牛顿第二定律是等价的

那我们看到这里面力和力矩对应

动量和角动量对应

而这个力矩和角动量呢它们都有共同的特点

都是用叉积来表示的

那么这样用叉积来表示的这个矢量

和力或者动量我们原来所熟悉的这些矢量有什么差别呢

实际上最大的差别就在于

这些矢量的镜像变换性质是不一样的

对于这些速度 刚才我们说的力 动量

这些矢量啊我们把它叫做极矢量

用两个极矢量叉积表示出来的矢量

比如说我们刚才提到的力矩啊角动量啊

或者是用右手螺旋来规定方向的那些矢量

比如说角速度啊角加速度啊

这些矢量啊都叫轴矢量或者叫做赝矢量

它们对镜像变换的性质啊是截然不同的

对于极矢量来说

假如说这是一个反射面 那么经过镜像变换

所谓镜像变换实际上是你可以把这个反射面当做镜子

然后看这个矢量在镜子里面的像是什么

这其实就是简单的镜像变换

比如说对于极矢量

我们有个矢量是平行于这个反射面的

这个时候呢它在镜子里面像呢也是平行于这个反射面的

如果这个极矢量是垂直于这个反射面的话呢

它的像或者说它的镜像变换也是垂直于这个方向

为什么会这样呢 你可以简单这样理解

比如说这是一个速度矢量

其实速度矢量的意思就是说一个质点是向上运动的

质点向上运动它镜子里面的像当然质点也是向上运动

所以这里面速度方向是这个方向的话

它的像的方向也是这个方向

假如说这个质点是向这个方向运动的

这时候像呢 质点的方向是这样运动

于是呢这个速度矢量的镜像变换是这个方向

其他极矢量比如说力啊动量啊加速度呀

都有同样的镜像变换特征

可是我们刚才讲的这个赝矢量呢 就不太一样了

你比如说有这么一个矢量是赝矢量

比如说是ω

那么这个ω实际上是这样来的 你可以想象

比如说一个质点是这么旋转

那么根据右手螺旋

我们知道它的角速度的方向就是这个方向

所以如果一个质点这样运动的话

它在镜子里面它的像呢也是这样运动对不对

所以根据右手螺旋里面的ω的方向也是这个方向

所以轴矢量垂直于反射面的这个矢量呢

它的镜像也是垂直于这个反射面

而且是同一个方向

我们再看 一个赝矢量平行于这个反射面

比如说是ω

你可以想一个质点这样旋转

这样旋转的结果 ω的方向不是向上吗

那么一个质点在这儿这么旋转的话

它的镜子里面的像怎么旋转呢

当然是这样旋转对不对

那么根据右手螺旋法则

里面像的角速度方向是向下的

所以轴矢量对镜像的变换是这样的一个特点

与极矢量是完全不一样的

假如说我们有一个镜像对称的系统

什么叫镜像对称呢

就是你在这种镜像变换下它这个系统是保持不变的

其实对称性指的就是不变性

假如说这个系统是镜像对称的

那么这个时候呢 对于一个极矢量来说

在这个系统里面于 因为它满足镜像对称性

比如这是对称面

这个时候呢 在某一点它的镜像呢

当然在对称这个位置

假如说在这一点上有一个极矢量是沿着这个方向的

因为它满足镜像对称性

所以你不用做实验你也不用做计算

你就可以通过这个镜像对称性可以判断

这一点的极矢量方向也是这个方向大小跟它是一样的

假如这里面有一个这个方向的极矢量

那么我们也可以不做实验不用计算

知道在这个位置上同样有和它一样大的

但是方向相反的一个矢量

我们把这个镜像这个性质啊

应用到刚好就是这个镜面上

比如说在镜面上这一点

假设有个极矢量是垂直于这个镜面的

那么根据镜像对称性

它的镜像的矢量呢应该是和相反的方向 对吧

可是这个位置很靠近几乎就在这个镜面上

它的对称性要求这一点即是这个方向的又是这个方向的

只有一种情况满足这个条件

就是当这个极矢量在镜面上得垂直分量为0的时候

再看这个赝矢量

假如说这个赝矢量也满足镜像对称性

这时候有一点那么它的像点呢当然在这

假如说在这一点呢

它的赝矢量方向在这个方向的话

那么根据这个镜像对称性我们知道

这一点的赝矢量方向是向下的

假如说这一点赝矢量有一个这样的分量的话

那么经过这个镜像反射

这个位置的赝矢量方向应该当然是沿着这个方向

假如说很靠近这个对称面的这一点上

那么有一个平行于这个对称面的一个赝矢量的话

那么它的镜像变换呢应该是向下的

那么根据镜像对称性

这一点这个赝矢量既有这个分量又得有向下的分量

只有这样一个条件下才能完成

也就是这个平行分量是0的时候

那么这个方法在电磁学里面非常重要

以后我们会学到电场实际上是极矢量

磁场是轴矢量

那么在电磁学里面我们经常要利用

对称性来判断电场或者磁场方向

好这节内容就讲到这儿 谢谢