11.9 玻耳兹曼熵公式和熵增加原理在线视频

同学好

这一节我们讲玻耳兹曼熵公式

和熵增加原理

那么这一节内容呢 也是为了了解

热力学第二定律背后的那个原因

热力学第二定律说的是

一切与热现象相关的自然过程

它都有不可逆性对吧

那么如果你考察这些不可逆性的话

你会发现他们都有共同的特点

都是按有序变无序的方向进行的

比如说功热转换这个过程

假设现在这个水槽里面有水

有叶片在这里面啊

叶片连着这个轴 轴上面缠着绳子

绳子通过这个滑轮呢挂上一个重物

重物下降的时候呢就带动这个轴转动

那叶片呢就搅动这个水

那实际上这个过程是重力克服水的阻力做功

使得这个物体的这个势能以及这个运动能量呢

转化成这个水槽里面水和叶片的内能

那么这个物体啊整体的势能

或者运动能量当然是有序的

因为什么呢

因为这个过程啊

这个物体所有的分子都共同具有同样的势能

或者这个物体的分子啊一起运动有一个能量

而这里面的这个内能呢

实际上是水分子或者叶片

这个分子的无规运动能量

所以你等于是有序的能量

转化成了无规运动能量对吧

转化成了无序的能量 是这么一个过程

再看一个例子 一个单摆啊

单摆这个摆动时间长了以后

它慢慢停下来了

原因是因为有空气阻力对吧

那实际上这个过程是

单摆这个势能和运动能量转化成了

单摆和周围空气分子的无规运动内能对不对

那么这个单摆运动的时候

这个能量当然是有序了

因为单摆这个分子啊一起运动对吗

而这个无规运动内能呢是分子的热运动

它是杂乱的运动

所以这个单摆最后停下来这个过程

其实是单摆的有序运动能量

转化成无规运动能量的这个过程

再举一个例子

气体绝热自由膨胀

气体先在左半边 把这个隔板去掉以后呢

这气体就充满到了整个空间

这么一个过程

那很显然一开始的这个状态啊更有序啊

后来的这个状态呢更无序

为什么呢

打个比方啊

现在有一百个小学生在操场一角啊

你让他们聚在一个一角里边 你训话

那这个时候呢是一个状态

然后假如说你说这个解散了

小学生可以在这个操场上自由活动了

那这个时候呢 这个小学生满操场运动

你说哪个状态更有序哪个状态更无序呀

很显然是占据小空间那个时候

那个状态啊更有序

占据大空间那个范围的时候的

那个状态呢就更无序了

刚才我们讲的这个有序和无序呀

你听起来好像挺明白啊

但其实是很模糊的

这个概念啊并不是很清楚

你不信

如果真的问你什么是有序什么是无序的话

你其实还真不好回答对吧

我们举下面的一个例子再看一看

假设有十个数啊0123456789

你这么排列了

当然我们说这是比较整齐的

如果你这样排列的话呢

你可能说啊 这比较乱啊

那么我们刚才讲的有序无序

是不是说这样整齐的就是有序的

这样乱排列的就是无序的呢

答案是否定的

我们讲的有序和无序不是这个概念

和这个整齐和乱啦 它有微妙的区别

我们所说的有序和无序呀 其实是这样

假如说我们定义整齐类这样排列呢

是这样一种排列

就是这样的排列头尾轮换又得到整齐类

你再头尾轮换又得到一个整齐类

那么这样轮换下去

属于这个整齐类的这个排列数有多少呢

一共有十个

可是对于乱的这个排列呢

你可以随意排列 它都是乱的 有很多

那么这一类排列数有多少呢

十的阶乘减去十个这么多

那我们说啊

你这个整齐类所包含的排列数目少

所以呢我们说这个整齐类是有序的状态

而这个乱的这个 下面这个排列数目呢多

所以呢 乱这一类排列是属于无序的

那么对于宏观状态的有序和无序

我们怎么定量地描述呢

我们可以根据它所包含的微观状态数目来衡量

那么微观状态数目或者是热力学几率越大

这个宏观状态越无序对吧

反过来呢 它就越有序

前面我们说 微观状态出现的概率都是一样的

或者说微观状态是平权的

所以你这个状态越无序

它所包含的微观状态数目越多

所以它出现的概率就越大

所以自然过程总是有序向无序变化的

也就是说总是从微观状态数目少的这个宏观状态

向微观状态数目多的那个宏观状态改变

那么对于非平衡态和平衡态来说呢

因为非平衡态包含的微观状态数目少

所以它更有序

平衡态呢更无序

所以自然过程总是从非平衡态向平衡态过渡

由于这个热力学几率或者微观状态数目太大

玻尔兹曼呢引入了另一个量 叫熵

玻尔兹曼这个人呢 是统计物理的奠基人

很不幸啊 当时他提出的这个统计思想呢

不被人们所接受

当时有好多一流物理学家都反对他

所以这个玻尔兹曼思想压力非常大

最后呢因为抑郁而自杀了

后来呢普朗克根据这个玻尔兹曼这个思想呢

把这个玻尔兹曼熵啊用数学公式表达出来了

就是玻尔兹曼常量乘上微观状态数目的自然对数

就是这么一个量

因为自然对数 它是一个单调增函数

所以微观状态数目大的话熵也就大 对吧

前面我们说

我们可以利用微观状态数目来衡量

宏观状态的有序或者无序

所以呢系统状态的熵值可以定量的描述

该状态的无序度或有序度

因为孤立系统

总是倾向于热力学几率最大的那个状态

那当然也就倾向于熵值最大了

这个呢也叫熵增加原理

我们把它用数学式子表达出来的话

就是孤立系统的熵的变化永不减少

这个其实是热力学第二定律的本质表述

有的教科书上啊

甚至把前面我们说的两个等价的

热力学第二定律的经典表述啊就扔掉了

直接用熵增加原理来表示热力学第二定律

可见熵这个概念呢是多么重要啊

那现在我们有普朗克给出来的这个定量的公式

可以计算熵

那么这个公式呢对于宏观状态

无论是处于平衡态还是处于非平衡态

你只要会数这个微观状态数目的话

你就可以就计算这个状态的熵值

下面呢我们给例子计算

理想气体绝热自由膨胀的过程

从体积V1变到体积V2的时候熵的变化

由于理想气体在绝热自由膨胀过程中

温度不改变

而气体的速度分布律啊是和温度相关的

所以说你温度不改变

你以速度区分的状态数呢就不会改变

所以这里面变化的这个状态数啊

只是因为分子的位置变化引起的

因为你这空间变化了

那么这个用位置区分的微观状态数目

我们怎么计算呢

我们把这个盒子啊

用固定体积的格子啊我们把它细分啊

那么气体分子占据这一个格子的这个几率呢

都是一样的

由于这个格子的体积都是固定的

所以你这个体积越大呢

它所包含的这个格子数目就越多

也就是说这时候分子的状态数目也就多

所以呢一个分子的这个状态数啊

它是和体积成正比的

那么N个粒子的状态数呢

就和V的N次方成正比

那么根据刚才这个玻尔兹曼熵公式呢

我们可以计算出它的熵值呢是这个样子

这里面这个常数呢是因为它是成正比的

这前面这个比例系数啊不定

所以把它归入到这个常数里面

那么前后体积是由V1变到V2啊

所以熵值的改变呢就变成了这样啊

那这个过程当中你这个常数量呢被减掉了

那么考虑到呢气体常数等于

玻尔兹曼常量乘上阿伏伽德罗数

假如说这个N个粒子系统啊是有ν个摩尔

那么这个时候呢

玻尔兹曼常量乘上这个N粒子数呢

就等于摩尔数乘上这个气体常数

把这结果代入到这里面呢

就是这个气体绝热自由膨胀以后熵的改变

就是这么一个量哦

由于体积是增大的

所以这个熵啊是增加的

所以我们说啊 理想气体绝热自由膨胀以后啊

熵是增加的

好 这一节内容呢就讲到这儿 谢谢