3.7 质心运动定理*在线视频

同学好 这节我们讲质心运动定理

这是单星号内容

我们先看几个概念

质心速度 那它当然是质心坐标的时间一次导数

那么根据质心坐标的公式

我们就可以把它的质心速度计算出来

质心加速度是质心坐标的两次时间导数

当然也是这么计算的

质心动量 质心动量呢

它是总的质点系的质量乘上质心系的速度

也就是你相当于把这个质点系的所有质量集中于质心

那么这个质点呢 以质心速度运动

这就是质心动量

从这个式子里边我们可以看到

这个质心动量啊其实就是这些

那么这一项呢你当然可以把它看作是所有质点的动量的和

那也就是说质心动量就等于质点系的总动量

那么前面对质点系我们有个牛顿方程

对质点系的总的外力

等于质点系总动量对时间的变化率

现在质点系的总动量是质心的动量

把这个式子代到这里面我们就得到了这样一个式子

那么这个式子我们怎么理解呢

相当于质点系所有的质量集中于质心

然后这个质点呢以质心加速度运动

所有这些作用于质点系的总的外力

就相当于作用到了这个质心位置上的质点上一样

所以质点系质心的运动相当于质点系所有的质量

集中于质心的时候这个质点的运动情况是一样的

下面我们看几个例子

比如说你在地面上扔了一个斧头

这个时候呢这个斧子当然是一个质点系

可是这个斧子的质心运动情况是如何的呢

根据我们质心运动定理

它相当于斧子所有的质量集中于质心以后

那个质点的运动情况是一致的

那当然在地面上质点是以抛物线运动

所以斧头的质心也是以抛物线运动

再看一个人跳水这个过程当中人可以翻腾翻滚

但是他的质心呢相当于人的所有质量集中于质心

这个质点的运动情况是一致的

所以人这个时候的质心运动轨迹也是抛物线

再看一个炮打出了一个炮弹

当然这个炮弹的径迹是抛物线

但是炮弹跑到某一个位置它发生了爆炸

这个时候呢炮弹分成了无数个碎块

它是一个质点系可是这个质点系的质心呢

仍然是按照这些炮弹碎片质量全部集中于质心时候的

那个质点的运动情况一样

所以它还是按照原来炮弹预期走的那个抛物线运动

下面再看一个例题

在水平面上拉动一个纸

假设纸张上面有一个球啊

球的质量是m

纸被拉动的时候球的摩擦力为F 持续t秒

这时候问球相对桌面移动多少距离

对这个问题通常人们会有一个错觉

因为我们知道如果你站在地毯上人拉地毯的时候

你会向后倒对吧

在电影上我们也看到过无数类似的这样的镜头

所以人们以为如果我现在把这个纸拉过来的时候

这个球就会向后转所以它有可能是向后走

但事实上质心运动定理告诉我们

当我们把这个纸抽出来的时候

这个球当然是一个质点系

可是它可以看做是所有的质量都集中于球心

球心是它的质心呢

然后这个质点受到一个纸的摩擦力

你说这个质点向哪个方向移动啊

很显然它是随着这个纸一起运动对吧

那么这个问题解起来是非常容易的

那么根据质心运动定理

质心的加速度可以用质心运动方程来求

那这里面这个F呢就是纸给它的摩擦力

这个质量呢这就是球的质量

这个质心加速度实际上就是这个球心的加速度

我们算出这个加速度当然根据这个加速度

持续t秒我们就可以算出它移动的距离

所以我们知道当你把纸拉出来的时候

这个球实际上是它沿着纸拉动的方向移动

下面呢我们可以实际演示一下这个过程看是不是这样

我们看到的这个情况呢

和我们实际解得这个情况定性上是符合的

前面我们讲过质心系比较特殊

在质心系里边 动量守恒定理总是成立的

或者我们说在质心系 质点系的总动量总是等于0

这是什么原因呢我们简单分析一下

这是一个质点系 质心的位置在这个地方

那么质心坐标系是这样

我们看某一个质点它受到一个外力用F来表示

它受到的内力呢就其他质点的内力呢用f来表示

那么另外一个质点呢当然是j

也同样的方式表达

质心系我们还有这样一个式子

就是这个和是等于0的 这个我们前面提过

对于这个式子对时间求两次导数

就得到了在质心系质点加速度的关系式子

这样我们就可以考虑第i个质点在质心系的运动方程

这个方程比较容易啊

这是这个质点所受到的外力

那么这个呢是第i个质点

受到其他质点系内质点给它的这个内力

因为这个质心系它可能加速运动有可能是非惯性系

所以我们还要考虑惯性力

这个惯性力当然我们知道

是这个质点(质量)负号乘上这个质心的加速度

质点系内其他的质点呢也满足类似的方程

把所有这些方程统统求和

那么前面我们已经做过质点系内所有内力的和

当然是等于0啊

那么外力的和呢就是总的外力

刚才我们推导出来这个式子

这个式子对所有的质点系求和的话它也是等于0的

所以求和以后我们就得到了这样一个关系式子

这个F当然是所有外力的和呀

那这里面这个质量呢是所有质点系的质量

那么这个方程的含义是什么

就相当于这个质点系所受到的所有外力的总和

与所有质点所受到的惯性力总和互相抵消

所以在质心系总的外力都把惯性力抵消掉了

那当然动量是守恒的

这就是质心系特殊的地方

好 这一节内容就讲到这儿 谢谢