7.17 波动方程的推导**在线视频

同学们好

下面介绍波动方程的推导

以及波的吸收 色散和群速度的概念

我们先看波动方程的推导

我们以横波为例

这是传播横波的一个杆

Δm是这个质元的质量

面积是S 长度是Δx

f1是这个紧邻这个质元的 这个非常窄的质元

对它的作用力

f2是这个紧邻的质元对这个Δm这个质元的作用力

这个位置坐标是y

这些形变这是dy

这是dy

这个位置坐标是x

这是dx

好 我们看牛顿方程

对质元Δm来说

受的力是f1和f2

所以合力是f1-f2

我们以向上为正方向

SΔxρ代表这个质元的质量

就是Δm

这个代表这个质元沿着y方向振动的加速度

这是牛顿第二定律

好我们再看一下

f1 f2如何求得

我们看这个片段

对这个质元作用力为f2的这个片段

我们把它放大是这个样子

其中 这个f和这边的f分别是Δm对它的作用力

和这一侧的质元对它的作用力

你会看到 f2应该等于-f

按照牛顿第三定律

好dθ代表应变

在这个图中它是y对x的微商

这是dθ

dy除上dx

按照切变模量的定义

切变模量等于应力除上应变

有了这些之后

我们就可以写出f1 作用在质元Δm的那个f1

应该等于负的这个力

这个力和这个力的方向相反

大小相等

所以f1应该是负的SG乘上∂y/∂x

为什么要用偏导数呢

因为y和x有关 还和时间有关

所以我们用偏导数

同理 f2等于负SG ∂y/∂x

其中 f1是这个偏导数在x处的值

就是在这儿的值

f2是这个偏导数在x+Δx那个值 在这个位置

好了

这是按胡克定律得到的作用在质元Δm上的两个力

我们把这两个力呢 进一步作解释

这是刚才说

这个力等于它减它

大家看 这是两个函数

一个函数在x+Δx的值 减去这个函数在x那一点的值

这相当于是个微分 是个增量

我们把这个增量做泰勒展开

它就应该等于对这个函数做微商

然后呢 取在x那个值乘上Δx

为什么写约等于呢

因为我们取泰勒展开中的一级项

二级及以上的项我们忽略了

好 我把它写开

因为 这个函数关于x的偏导数

就是y关于x的二阶偏导数

我们就得到合力的表达式

把这个表达式带入牛顿方程

就得到这个结果

这是作用在Δm这个质元上的合力

这是质量乘加速度

好 我们把Δx约掉 就得到这个结果

位移关于x的二阶导数减去这个因子乘上

位移关于时间的二阶导数 等于零

下面我们说明

这个系数ρ比上G 就是波速的平方的倒数

我们取任意一个沿着x正方向传播的行波

比如 我写成这个形式

f是某个函数

t-x/u

这是右行波的一般的表达式

我为了计算方便

我假设α=t-x/u

就是这个自变量 我用α来代表

我为了计算方便

那我得到了两个式子

一个是y对x的二阶导数

就是这个函数关于x二阶导数

可以写成1/u^2

f关于α的二阶导数

这个容易看出来

复合函数的微商就可以得到

y关于t的二阶导数

就是f关于α的二阶导数

比较这两个式子

我就可以得到这个式子

对于沿着x正方向传播的行波来说

位移关于空间的二阶导数

减去位移关于时间的二阶导数

前面有个系数1/u^2 应该等于零

把这个式子与得到的方程对比

我们就得到

这个系数就等于1/u^2

好了 同时这个系数等于1/u^2告诉我们

在固体中传播的横波

它的波速就是G比ρ开方 G是切变模量

ρ是这个固体的质量密度

我们同时证明了固体中横波的波速公式

我们用相同的方法

可以证明 纵波的波速是u=√(Y/ρ)

Y是杨氏模量

ρ是介质的质量密度

于是我们得到一维机械波的波动方程

位移关于空间的二阶导数

和位移关于时间的二阶导数

乘上1/u^2 相减 等于零

其中 u就是波在这种介质中的传播速度

我们看到 这个方程是线性齐次方程

如果y1和y2是波动方程的解

它们的叠加也是方程的解

由此我们看到

满足这个微分方程的介质

波的叠加原理成立

我们知道驻波是两列行波的叠加

而行波是这个波动方程的解

所以驻波也是波动方程的解

总结一下 任何物理量 无论是位移还是电场强度

或者磁场强度

只要它与坐标x 时间t 的函数关系是波动方程的解

那么该物理量的运动的形式一定是波动

它可以是行波也可以是驻波

好 这一段我们就讲这么多