4.3 保守力和势能在线视频

大家好 这一小节我们学习保守力和势能

什么是保守力呢

保守力的定义是这样的

保守力是一对力

它的做功的和呢只和质点之间的始末相对位置有关

和相对运动路径无关

那么我们就根据这个定义呢

把保守力所满足的数学表达式找出来

首先我们任意选择两条相对的运动路径L1 L2

这个A呢和B呢分别是始末相对位置

那么根据这个定义呢

我们可以列出来一个方程

可以列出来一个等式

就是保守力点乘相对元位移沿着L1这个路径由A积到B

等于沿着L2这个路径由A积到B

那么我们把右边这个定积分上下限换一下

需要加一个负号

然后移到左边 那么得到这个结果

简单的说呢这个结果就是沿着L1这条路径由A积到B

加上沿着L2这条路径由B积到A等于0

这是什么意思呢

意思就是保守力点乘相对元位移

沿着由任意选取的L1 L2这两条路径

构成的一个闭合路径的积分等于0

由于L1和L2是任选的

那么我们就得到了一个重要的结果

这个结果就是保守力点乘相对元位移

沿着任意的闭合的相对运动路径的积分等于0

我们把它简称作保守力的环路积分为0

这个呢就是保守力的定义式

这个定义式呢和上面这个定义是等价的

也就是说当我们要判断一种力是否是保守力的时候

我们既可以从定义出发

从定义出发就是证明这种力做功和相对运动路径无关

当然也可以从定义式出发来证明

就是证明这种力对任意闭合回路的积分等于0

这样也可以

下面我们就证明万有引力是保守力

这是万有引力的平方反比律的公式

这有两个质点这个L呢是m相对于M的运动路径

A和B呢是始末位置

相对的始末位矢的大小呢分别是rA和rB

m相对于M的距离是r 这个位矢方向的单位矢量是er

它受到的万有引力我们记做是F

它的相对元位移dr

那么我们就把万有引力做的功写出来

注意现在这个计算的功呢是

M和m之间一对万有引力做的功

那么我们把万有引力的公式代进去

这样就会出现一个er·dr

er·dr是什么呢

正好就是元位移沿着这个er方向的投影

它恰恰就是位矢的大小的微分

那么我们把这个er·dr用dr替换之后呢

因为上下限相应的改成rA和rB

这个积分很容易算出来

最后的结果就是这样

它只决定于始末的相对位置

和我们刚才说的这个相对运动路径L没有任何关系

这样我们就证明了万有引力的确是保守力

当然了我们也可以任意选择一个闭合的路径L

然后我们证明万有引力对这个闭合路径L的环路积分为0

那我们看看是不是这样

这是万有引力的闭合回路积分的表达式

然后我们把万有引力代入

同样出现了er·dr

它等于位矢大小的微分

那么我们把这个负的r平方分之1和dr合到一块呢

这个就等于1/r的微分

对于这样的一个闭合回路

积分呢从开始然后沿着一圈结束回到起始位置

那么显然这个积分为0

这样我们通过证明

这个万有引力对任一闭合回路的环路积分为0

也就证明了万有引力是保守力

所以万有引力是保守力

弹性力这个x0是平衡位置 k是劲度系数

弹性力也可以证明它是保守力

大家自己证一下 这个不一定通过环路积分

我们只要证明这个弹性力做功和路径无关就可以了

另外呢我们可以把保守力推广到虚拟力上

我们的定义说是保守力必须是一对力

但是可以把它推广到虚拟力

尽管虚拟力不是一对力

它没有反作用力但它仍然可以当做保守力来处理

这个惯性离心力我们都知道它的这个力的特点呢

是和质点相对于转动参考系转轴的垂直位矢有关

我们同样可以证明

这样的力呢它做功和质点在转动参考系中

这个相对运动路径是没有任何关系的

只决定于这个质点相对于转轴的这个距离

所以我们可以把惯性离心力当做保守力

那么重力 重力同样也是保守力

原因是这样 我们地球上的重力呢

是万有引力和惯性离心力的合力

前两个既然是保守力 那么重力也就是保守力

那么什么是非保守力呢

非保守力也是一对力

但是它的做功呢和相对运动路径有关

这样的力就属于非保守力

比如说滑动摩擦力爆炸力

我们知道的滑动摩擦力做功为负

就是一对儿滑动摩擦力做功为负

对于这种做功为负的力呢

我们通常称为耗散力

那么爆炸力通常是内力

作为内力的时候呢爆炸力做功是正

下面我们讲势能

前面我们提到过

对一般情况下一个力做的功对应一个定积分

对于这个定积分一般情况下是找不到一个原函数

来表达成这个原函数的差量

但是对于保守力呢不是这样的

对于保守力做功呢的确可以找到一个标量性质的原函数

然后把这个定积分写成这个原函数的差值

我们把这个原函数呢就称为势能

那在讲势能之前呢

我们给大家讲个小的知识叫做位形的概念

什么是位形呢

位形指的就是系统内各质点之间的相对位置关系

质点系内的质点是不停的运动的

但是只要它们之间的相对位置关系不变

我们就说这个系统的位形不变

我们给大家举一个二维的例子

现在有三个质点形成了三个位形a b c

我们假设a位形和b位形都是正三角形而且边长相等

但是c位形不是正三角形

那么我们就说a位形等于b位形不等于c位形

所以位形强调的是质点之间的相对位置关系

而不在于质点它绝对的位矢是什么

从这一点大家可以也知道位形和参考系无关

下面我们就定义这个势能

势能的定义是这样的

就是当一个系统由a位形变化到b位形的时候

那么我们定义保守内力做的功等于系统势能的减少

或者等于系统势能增量的负值

这就是势能的定义

那么根据这个定义呢

我们可以把势能所满足的数学表达式写出来

这是初始的状态对应的势能

或者说是初始位形对应的势能

这是末位形对应的势能

然后这就是势能的减少量

也就是势能增量的负值

它等于保守内力做功

微分形式是这样的

就是负的势能的微分等于保守力所做的元功

我们通常所说的势能零点是什么意义呢

势能零点的含义指的就是

规定某种位形它的势能等于零

那么大家要注意两点

势能呢是一个属于系统的量

它是状态量我们不能说势能属于某个质点

第二点呢就是要注意

势能和势能零点的选择和参考系无关

因为我们从势能定义能看出来它是决定于位形的

当然从保守力做功也可以知道

保守内力永远是一对力

那么它做功是和参考系无关的

所以势能也就和参考系无关

这是万有引力势能

大家都熟知的它是和距离成反比

现在对于这个势能零点要有一个准确的理解

我们通常说规定无穷远为势能零点

通常会误解成是质点跑到无穷远它的势能为零点

实际上现在准确的要理解成是

两个质点之间距离为无穷远的时候

对应的这种位形它的势能为零

那这是弹性势能 弹性势能是和位移平方成正比的

然后我们通常规定是平衡位置处的势能为零

下面我们计算一下惯性离心势能

我们就从惯性离心力做功出发来计算这个离心势能

那么这个离心势能呢就是惯性离心力点乘相对元位移

从这个待求的位置处积到势能零点

这个积分的结果呢很简单就是-(1/2)mω2r2

是和质点到转动参考系转轴的垂直距离的平方成正比

当然了从这个式子当中我们也能看出来了

r等于零位置处势能等于零

我们也就规定这一点为势能零点

好这一小节就讲到这儿谢谢大家