3.12 质心系角动量、角动量定理*在线视频

同学好 这节我们讲质心系角动量定理

也是带星号的

假设我们有一个惯性系 惯性系上面有坐标系

那么有N个质点

这个时候呢这个质点系的角动量

当然是每一个质点角动量的总和

现在假设这个质点系的质心位置是在rc这个位置

那么我们在这个质心位置上建立一个质心坐标系

坐标轴的方向呢和原来的坐标轴方向是一致的

当然这不是必须的

只是为了方便我们这样画

有了这个坐标系以后

那么这个质点的矢径呢

和质心系的矢径之间就有这样的关系

这个我们前面推导过

对这个式子直接一次导数再乘上m_i

我们就得到了动量之间的关系式子

把这两个式子代到这里边

我们具体展开我们就得到了这个四项

那这里面这一项当然我们知道它是等于零的

这是质心系的一个特点

那么在质心系质点的总动量也总是等于零

所以只剩下这两个式子

那么这个式子我们看一看

它实际上是质心系的矢径叉乘上质心系的动量

所以这是质心系的总角动量

这个式子是相当于所有的质量集中于质心

这个质心呢以质心速度运动的时候的角动量

或者你也可以这么想

这总的质量乘上质心的速度

实际上是质点的总动量

那么质点的总动量

集中于质心的时候的角动量 就是这一项

于是我们得到了在原来这个参考系的角动量

实际上是等于质心系的角动量

加上质点的所有动量集中于质心的时候的那个角动量

如果我们对这个式子对时间求一次导数的话

当然角动量的时间导数是力矩

那么这一项呢还是照写

对于这个叉积的时间导数我们得到了两项

那这里面这个动量对时间的变化率

我们知道它就是力啊

而这一项呢

质心速度当然和总的动量的方向是一个方向

所以它们的叉积是等于零

于是我们得到质点系的总力矩

等于质心系里面总角动量对时间的变化率

加上所有的外力作用于质心的那个力矩

我们把这个式子啊具体展开

当然总的外力矩就是这个求和

而这里面总的外力呢

当然是每个粒子受到外力的总和

把这个式子移到这一项整理一下

我们就得到这个式子

那么这一项刚好是质心系里面的矢径

那么它叉乘上这个外力的求和

不就是质心系里面质点系所受到的总的外力矩吗

所以我们得到了在质心系里面的角动量定理

就是在质心系里面受到的总的外力矩

是等于质心系内总的角动量对时间的变化率

这个式子和前面我们讲的质心运动定理一样

即使质心是加速运动的时候它也是成立的

因为质心系是一个特殊的参考系

所以在质心系里角动量定理总是成立的

下面我们举一个例子

假设在光滑的平面上有两个一样质量的物体

中间呢用一个轻杆相连

这个轻杆是硬的固体的不能变形的

它的长度是l

没有质量这个杆是没有质量的

那么另一个小质量m呢

与其中的一个M要碰撞

过来碰撞

碰撞的过程我们假设是完全非弹性碰撞

也就是说这个小质量打到这个物体上的时候呢

它是连在一起的

这时候问如果以碰撞点为原点的话

这样的情况下质心坐标是什么样的

质心运动速度是什么样的

第二个问题呢

碰撞以后系统转动的角速度又是多少

那么为了简化这个问题的讨论呢

我们给这个几个物体啊标上号

这是1粒子 这是2粒子 这是3粒子

好 我们来看一看这道题

那么它的质心坐标呢

当然我们利用质心坐标的公式很容易计算出来

就是总的质量分之每个质点的质量

乘上这个质点的坐标

那么质心x坐标

我们知道这个质点x坐标假如说是x1的话

2坐标(粒子)x坐标是等于零

那么3 粒子的x坐标呢是l乘上cosθ

所以我们简化一下这个式子我们就得到了质心x坐标

质心Y坐标呢 同样的道理

我们很容易得出来

因为这两个质心坐标对时间求一次导数

我们就得到了质心速度

那这里面呢这些都是常量

唯一对时间导数起作用的就是x1一点

x1一点就是这个质点的速度为零

所以我们得到了这个式子

质心沿着Y方向的速度分量呢

因为这个本身都是常量

所以对时间导数它是等于零的

所以当1粒子靠近过来的时候啊

实际上这个系统的质心是沿着x方向以这个速度运动

在y方向它是没有运动速度的

当这个1粒子和2粒子碰撞的一瞬间

当然1粒子的坐标是0啊

所以那一瞬间质心的位置是变成了这个

你看这里面质心x坐标是某个量乘上cosθ

而y坐标呢是刚才那个量乘上sinθ

所以我们很容易判断

质心的这个位置距离这个原点它是这个量

那么第二个问题是当1粒子碰到2粒子以后

因为它们是完全非弹性碰撞

所以它会黏在一起

以后呢它们就会在一起旋转

那问这个旋转的角速度等于多少

当然这个过程呢

我们知道因为没有外力作用

所以角动量是要守恒的

那么碰撞前角动量等于多少呢

因为碰撞前对这个原点来说

这两个质点它是不动的

这个质点虽然运动可是它的速度方向是对着这个原点的

所以总的角动量在碰撞前是等于零的

那碰撞以后呢

假设碰撞以后它们一起旋转的这个角速度是ω的话呢

那么我们说碰撞以后的总角动量可以分成两部分

一个呢是绕着质心的总的角动量

另一个呢是总动量放在质心上的时候的

那个质点的角动量

那么相对于质心系的这个角动量呢

因为1粒子和2粒子是黏在一起的

所以相对于这个质心的这个角动量可以稍微仔细一点

也可以很容易把它写出来

那么另一项呢

就是总的动量集中于质心的时候的那个角动量

那个我们也把它叫做质心角动量

当然就是这个动量乘上这个质心的这个高度了

这里面这个负号啊是这样来的

因为假设1和2粒子碰撞以后

这个旋转的角速度是这个方向

这个方向假设是正的话

那么质心的角动量因为质心是沿着这个方向运动的

所以相对于这个原点的方向呢是这个方向

所以它们俩的方向是相反的

所以我在这里面呢加上一个负号

碰撞前和碰撞后角动量是一样的

碰撞前等于零 所以它俩加起来就等于零

整理一下我们很容易得到

我们要求的这个角速度是这样的

好 这一节我们就讲到这儿 谢谢