6.3 简谐振动能量的能量特征在线视频

下面我们从能量的角度来讨论一下简谐振动

我们知道 一个自由振动的弹簧振子

它的能量可以写成动能加势能

其中动能是(1/2)mv2

注意 这个v代表振动的速度 x代表位移

好 我们用简谐振动的速度表达式和位移表达式

我们就得到 动能是

(1/2)mω方A方sin(ωt+φ)平方的形式

那我把它写成这个样子

其中m 乘ω2就是k

这个k呢就是弹簧的劲度系数

按照我们对ω的定义k就等于mω2

我们把动能写成这个样子

一个常数 乘上sin(ωt＋φ)的平方形式

同样 我们把势能也可以写成这个样子

不过这是cos(ωt＋φ)的平方形式

那这个自由振动弹簧振子的总能量

等于动能和势能的和 就是(1/2)kA2

因为sin平方加cos平方等于1

那么我们就可以总结出简谐振动的能量特征

这3个式子 就代表简谐振动的能量特征

动能和势能随时间做周期性变化

这是周期性变化

并且相互转化 此消彼长

你动能多了势能就少 势能多了动能就少

因为总能量是一个与振幅平方成正比的恒量

这就是简谐振动的能量特征

那可以看到 这个振幅A

不仅仅代表振动的幅度 而且反映振动的强度

振幅的平方反映振动的强度

我们再看一下动能和势能对时间的平均值

好 我做一下计算

动能关于时间积分

从零到T T是周期 比上T

就代表动能的时间平均值

我把Ek代进去

就涉及一个计算sin平方这么个积分

我们用半角公式

我们把sin平方写成

(1/2)[ 1-cos2(ωt+φ)]的形式做积分

积分的很简单就是(1/4)kA平方

动能的时间平均值等于(1/4)kA的平方

我们再算一下势能的平均值

也等于这个结果

所以我们就得到这个结论

对于简谐振动来说

它的动能和势能对时间的平均值相等

都等于总能量的1/2

下面我们看一个演示实验

弹簧和扭摆模式的转换

从能量特征上看 如果系统机械能守恒

并且 势能可以表示成λx2的形式

X代表位移 λ只由系统自身的性质决定

那么这个系统围绕平衡位置做的就是简谐振动

这件事情有时候把它叫做能量判据

其实呢 这也是简谐振动满足的

动力学方程的结果

只不过从能量的角度 揭示了简谐振动的特点

对于一个比较复杂的振动系统

我们着眼于系统整体 直接由能量关系

来分析是比较方便的

我们看一个例子 一个U型管

里面的液体质量为m

密度为ρ 管的截面积为S

开始的时候造成管内

两个液柱面的有一定的高度差

忽略管壁和液体之间的摩擦 机械能守恒

判断一下 这个液体振动的性质

它是不是简谐振动

如果是简谐振动 它的本征频率是多少

我们做这件事

我们用两种方法做 先用能量的方法做

先用能量的方法做 我分析它的能量

我取y轴竖直向上

它的零点取在这个位置上

代表势能 体系的势能等于零

这个位置 我取为势能零点

因为没有损耗 所以总的机械能守恒

势能可写成这个样子 ρ是密度 乘上Sy

Sy代表这段液体的体积再乘上g

再乘上y 代表势能

因为我们可以这样想

这个结构相当于 这块液体的质心

被提升了y那么多高度

我把它当做质点

这个质点被提升了y这么多高度

这块液体 或者这块液体

从这儿提升了y那么多高度

这个代表mg

ρSy代表m 代表着液体的质量

g呢代表重力加速度

那我把它写成了y的平方 乘上系数(1/2)k

其中的k 就是2ρgS

这个k呢 只与这个液体 这个系统的性质有关

好 所以呢它是简谐振动

机械能守恒

势能可以写成一个 只与系统有关的

一个常量λ 乘上y平方的形式

那角频率很容易算出来

按照角频率定义

k/m开方 就是m分之2gρS/m开方

这是从能量角度分析

下面通过受力分析 我们来讨论这个问题

首先 这个液体的液柱受得这个线性恢复力

我们看 2y代表液柱的高度

所以 系统受得合力应该是2ρgSy

y代表液柱的高度

负号代表这个力呢指向平衡位置

好了 我可以把它写成-ky的形式

k呢 也是2ρgS

所以从线性恢复力的角度看

系统做简谐振动

显然角频率和刚才的结果是一样的

我们从两个角度来讨论这个问题

一个是从能量分析的角度

一个是从 受的力是线性恢复力的角度

来讨论这个问题

通常 一个系统在稳定平衡位置附近

做微振动的时候

就振幅非常小的这种振动的时候

那么我们可以证明

在通常情况下它是简谐振动

好了 这是指经典情况

在微观领域

比如 固体晶格点阵上原子的振动

分子中原子的振动

原子核中质子和中子的振动都是微振动

都是振幅很小的振动

这些微振动都可以用简谐振子模型来描述

对此我们在量子物理中再做介绍

好 这一节就讲到这儿 谢谢