6.1 简谐振动在线视频

同学们好 我们开始讨论第六章振动

大概有这么几节

其中有几个演示实验

振动是最普遍的一种运动形式

任何一个物理量

不断地经过极大值和极小值

而发生变化的现象 我们都管它叫振动

包括机械振动 电磁振动等等

这都是经典的振动

各种振动的物理机制可能是不同的

但是他们具有共同的特性

本章就以机械振动为例

介绍振动的基本概念和规律

我们先看简谐振动

这是一个自由振动的弹簧振子

弹簧 一端固定

另一端 系一个质量为m的物体

弹簧处于原长 物体受的合力等于0的位置

我们叫做平衡位置

下面我们做一个演示实验

水平弹簧振子

物体受到的弹簧的力是弹性力

f=-kx

k是弹簧的弹性系数或者劲度系数

x是物体相对于平衡位置的位移

负号代表力的方向永远指向平衡位置

这种力叫线性恢复力

在这种情况下 物体的位移x随着时间t的变化

它满足牛顿方程

这边是力 这边是质量乘加速度

因为我们取x轴方向是这个方向

所以力侧是负的 这边是正的

我把x关于t的二阶导数写成x两点

好 为了讨论方便我们假设呢

k/m开方 用ω来代表

这个ω叫做本征角频率 或者叫本征圆频率

原因是 其中的k和m

是由振子自身的性质所决定

所以我们可以把自由振动弹簧振子

的动力学方程 写成这个样子

x两点加上ω平方x等于0

这是自由振子的动力学方程

它是一个二阶线性微分方程

它的解可以写成三角函数的形式

位移等于振幅乘上cos(ωt+φ)

其中(ωt+φ)叫相位 φ是初相

ω是刚才我们引入的本征角频率

我们把描述物体位移和时间的关系这个函数

叫做振动函数

在振动函数中呢

出现的A和φ是积分常量

因为我们的方程是二阶微分方程

A和φ用初始条件来确定

所谓初始条件就是时刻等于0的时候

这个物体它的位移和速度

下面我们要介绍

A是振幅 它表示离开平衡位置的最大距离

φ是初相位或者叫初相

它决定于初始时刻位移的大小和方向

关于振幅和初相 如何用初始条件确定

下面我们要讨论

好了 下面我们就说一下简谐振动的定义

什么是简谐振动

先从动力学意义上来考虑

如果一个物理量x

随着时间变化的动力学方程

为x两点加上ω平方乘上x等于0

其中的ω 只由系统的自身的性质决定

那物理量x运动一定是简谐振动

物理量可以是位移 可以是密度

可以是压强 也可以是电场强度

和磁感应强度或者是磁场强度

这是从动力学意义上 简谐振动的一个定义

那对于机械振动来说

如果系统所受的合力 是线性恢复力

比如-kx就是一种线性恢复力

那你这个围绕平衡位置的运动

一定就是简谐运动

实际上 这句话 就表明

它的动力学方程是这种形式

我们看一个例子

看一个动画 通过地心的振动

我们看到了 通过地心的振动是不是简谐振动

你们回去可以算一下 这个人或者这个物体

通过直的隧道受的力 应该是跟r成正比

方向指向地心

所以它是简谐振动

我们再看简谐振动在运动学上如何定义

如果一个物理量x

它按照余弦函数或者正弦函数随着时间变化

那这个x运动 一定是简谐运动

因为 这个变化

就是刚才说的x两点加上ω平方乘x等于0

那个动力学方程的解

我们再看一个动画

弹簧振子的简谐振动

以后我们就把x=Acos(ωt+φ)

叫做描述这个简谐振动的振动函数

其实就描述位移和时间的关系

在这个振动函数中有三个量A ω φ

A是振幅 ω是圆频率或者角频率 φ是初相

这三个量A ω φ 我们称为三个特征量

也就是说你知道了这三个特征量

就等于知道了这个简谐振动

好 这一节就讲到这 谢谢







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