6.10 阻尼振动＊在线视频

同学们好

上面我们讨论的是自由振动

下面我们看 阻尼振动 受迫振动

以及受迫振动中 出现的共振现象

简谐振动是一种自由振动

但是我们实际的振动体系

总会受到阻力 而消耗能量

振幅不断的减小

通过施加周期性的外力

可以维持等幅振动 给系统输入能量

在一定条件下 会发生共振现象

我们先看阻尼振动

什么叫阻尼振动呢

就是振幅不断减小的振动

我们叫阻尼振动

当物体的运动速度不太大的时候

粘性力与速度成正比

粘性力和速度成正比

其中系数γ

决定于物体的形状 大小和表面状况

以及介质的性质

物体在线性恢复力 和粘性力的共同作用下

牛顿方程是这个样子

这是线性恢复力 这是阻力

x一点是速度 等于m乘上x两点

我们讨论的一维问题

好 那我假设ω0 就是k/m开方

假设它是无阻尼振动的本征角频率

自由振动的本征角频率

β是它的系数比上2倍的m

我们叫它阻尼系数

这个时候 阻尼振动的动力学方程是这个样子

我把它代进去 做一下整理

x两点加上2βx一点 加上ω0平方x等于0

我们知道如果β=0的时候是个自由振动

自由振动的动力学方程没有这一项

我们有这一项

这就代表阻尼振动的动力学方程

好 这个方程怎么解

你要看β的大小

我按β的大小 可分成三种情况

来讨论这个方程的解

第一种情况 欠阻尼情况

这个阻尼系数平方小于ω0的平方

在这种情况下 这个解应该是什么样子

这是一个线性的二阶微分方程

常系数的 2β、ω0的平方都是常系数

它的解是这个样子

A0e的﹣βt方 后面是一个振动项

其中 这个振动的ω跟ω0

就我们假定的那个自由振动的本征频率

关系是这个关系

ω0平方减去β平方开方

这是通过微分方程求解得到的结果

我们看一下 这个解的形状

横坐标代表时间 纵坐标代表位移

这是振动曲线

这个包络线 恰好是e-βt次方 这么一个函数

在欠阻尼情况下

振幅随着时间不断衰减

β越大 阻力越大 衰减的越快

这是欠阻尼情况

对于欠阻尼情况

它的振动曲线已经不是简谐振动了

但是我们可以定义周期

在欠阻尼情况

相邻两个 相邻两个最大点之间的时间差

我们叫周期

那我这样定义 2π除上ω

ω跟ω0和β的关系是这个关系

所以我们定义的周期 是这个样子的

2π比上根号ω0平方减去β平方

显然 这个周期要大于自由振动的周期

这是自由振动的周期

这说明 阻尼使振动变慢了

如果没有阻尼的话

是这个周期 自由振动的周期是2π除上ω0

现在我们定义的周期比它要大

这表明阻尼使振动变慢

一般情况呢 阻尼都很小

实际情况都是这样

所以呢 所谓的阻尼振动都是指欠阻尼振动

这种情况

以后我们一说阻尼振动 都是欠阻尼情况

就是它的振动函数都是这个形式的

它的曲线是这个样子的

好了 我们再看过阻尼情况

如果阻尼系数平方

比自由振动的本征频率平方大

这叫过阻尼

这时候阻力比较大

这时候解是这个样子啊

C1、C2是两个待定的常量

e指数括弧负的β减根号β2-ω02括弧t

这个也是 这是负的

这个解说明 当过阻尼的时候

物体不能做往复运动了

而且经过相当长的时间 才能回到平衡位置

这是过阻尼情况

当β方等于ω0平方的时候 我们叫临界阻尼

这时候解是这样子

(C1+C2t)e的-βt次方

它的基本特征是 刚刚开始不能做往复运动

但是能够很快的回到平衡位置

注意 过阻尼和临界阻尼 都不能做往复运动了

但是 一个回到平衡位置快

一个回到平衡位置慢

我们看一下三种阻尼的情况

横坐标是时间 纵坐标是位移

这个是欠阻尼情况

还有一些往复运动的可能

但是逐渐的振幅会越来越小

这是过阻尼情况

这是临界阻尼情况

你看 临界阻尼和过阻尼都没有往复运动了

都不能作往复运动

但是 临界阻尼能很快的回到平衡位置

而过阻尼呢 回到平衡位置就比较慢

所以 你如果希望物体在一段时间内

近似的做简谐振动

应该减小阻尼 让它欠阻尼

你要希望物体 不发生往复运动

尽快的回到平衡位置

比如电磁仪表的表针

我让它很快的回到平衡位置

那你应该对系统施加临界阻尼 像这种情况

那么在电磁仪表的设计中呢

也要考虑这个问题

好 这一节就讲到这儿 谢谢