2.7 转动非惯性系* ( 离心力和科氏力)在线视频

同学好 这节我们讲离心力和科里奥利力

这是单星号的内容

那么这个问题啊 其实是关于转动参考系的问题

前面我们提过 在非惯性系你要用牛顿方程的话

你得引入惯性力

那么那个结论呢 对转动参考系也是成立的

那么离心力和科里奥利力这两个惯性力的推导呢

我们是这样的

在这里面呢我们通过一个具体例子给出来

什么具体例子呢

假设有一个圆盘

这个圆盘呢以匀角速度产生转动 角速度是ω

那么中间呢 我们刻了一个凹槽

这个凹槽和这个圆盘的轴是同心的

凹槽里面呢 有一个质点在那儿匀速转动

这个质点相对于凹槽的速度呢是v′

那么在惯性系

我们可以写出这个质点的运动方程

我们先定一个方向

因为这个凹槽是做匀速圆周运动

所以呢它的加速度都是沿着向心的

所以把这个方向呢 我们定义做n帽这个方向

那么在这个内方向n帽的方向 我们可以写出运动方程

就是Ｆ＝ｍａ

这个力呢来自于凹槽对这个质点的压力

那右边呢 这个就是ｍ乘上这个加速度

实际上就是这个质点的向心加速度

那向心加速度我们知道 它是ｒ分之这个质点的速度平方

那么这个质点呢 相对于凹槽的速度是v′

而这个凹槽本身又做圆周运动

那么凹槽的速度是rω

那么它当然质点相对于这个地面的这个速度就是v′+rω

我们把这个式子呢展开 然后再挪一挪

右边呢 留下这个式子

其它式子呢都挪到左边来

那么现在看这个右侧这个式子

这个我们如果把它当做ma

就是说这个是S′系

也就是说在转动系的向心加速度的话

因为这个v′不是质点相对于凹槽的速度吗

那这样的话呢 在转动参考系看来

转动参考系你要写牛顿方程的话

我们需要引入惯性力

那么剩下的这部分 应该就是惯性力

因为这个F呢 这个是凹槽对质点的这个力啊

它无论是在惯性系还是在转动参考系它都是一样的

那么这个第一项 惯性系里面的第一项

我们把它叫做科里奥利力

第二项呢 我们把它叫做离心力

我们知道 惯性力通常是负的质点的质量再乘上一个加速度

所以相应于科里奥利力我们有一个科里奥利力加速度

相应于这个离心力呢 也有一个离心加速度

下面呢 我们对我们这个具体的这个问题

可以把这两个加速度这个形式 写成矢量的形式

你比如说啊

我可以把科里奥利力加速度啊写成 角速度叉上这个v′

叉积呢就是矢量叉积

你看一看 对于这个问题来说

角速度的方向是用右手螺旋来表示用这个方向 对吧

而这个速度v′呢当然是这个质点相对于这个凹槽的速度

所以ω×v′也是用右手螺旋来定义 对吧

右手螺旋 ω的方向v′的方向

所以这个方向呢就指向圆心 也就是内法线方向

所以你这样表示出来的矢量

其实它的方向就是沿着这个内法线方向

它的大小呢

因为角速度的方向和v′的方向它不是互相垂直吗

所以它的大小就是等于ω乘上v′

所以大小也符合 方向也符合

那么对这个向心加速来说这就比较容易

因为向心加速度它的方向

因为我们这个方程是对于n冒这个方向写的

所以它的这个方向呢就是沿着n帽

n帽这个方向是向着圆心的

它是和这个矢径的方向相反

所以把这个直接写成矢量形式的话

它再加一个负号 那么r 写个矢径就行

这个形式啊虽然是我们特例给出来的

但是它的结果是普遍成立的

下面我们把这个结果 整理一下

在转动参考系 ω转动的这个参考系

一个质点相对这个参考系的速度是什么呢 v′

这个时候 这个质点在这个参考系 受到惯性力有两个

一个是离心力 一个是科里奥利力

那么这个惯性力所对应的那个加速度

我们来看一看 科里奥利力加速度呢是用2ω×v′

就刚才我们推出来的那个结果

那相应于这个科氏加速度

我们知道它的惯性力应该是乘上-m就行了

所以科氏力呢是-2mω叉上v′

还有一个是离心加速度刚才我们得到的这个结果对吧

那么相应于离心加速度的离心力呢

就是把这个乘上M加上负 -ω

为什么叫离心力 你看这个 它的方向是沿着矢径方向

离开圆心的方向 那么在这里面要注意啊

无论是科氏力也好 离心力也好

其实都是为了在转动参考系应用牛顿方程

而引入的一个惯性力 它是虚拟的不是真实存在的

下面我们给几个例子

第一个惯性离心力的一个例子

假设一个绳子那头栓了一个小物体 然后转 你摇

这时候这个物体呢做一个匀速圆周运动

假设这个匀速圆周运动的角速度是ω

半径是R 就是绳子长度是R

那么这个时候呢

你这个质点的向心加速度实际上是由绳子的拉力提供的

在S系 很显然这个拉力提供了向心力 对吧

这个方向不是这个方向吗

这没什么问题 很简单

那么在S′体系呢

在S′体系啊 跟这个质点一起转的这个参考系

这个质点是静止的

所以呢在S′体系它应该是力平衡

那有什么力呢 一个是绳子的拉力

另一个呢它就是离心力

因为这里面相对于这个转动参考系没有速度

所以只能有离心力

所以我们得到了这个式子

那么这个离心力刚才我们得到了

它是这样一个形式 对吧

你看这个式子和这个式子比较 其实是一个意思

所以说一个问题 你无论是在S系 这个惯性系研究 还是在转动参考系研究

它的结果都是一样的

下一个例子 我们考虑重力加速度

那么地面上呢 物体都是随着地球转动

所以都由一个离心加速度

假设这个地面 比如说纬度为θ的这个地方

那么这个质点呢 既受到引力 地心的引力

还受到一个离心力 对吧

因为这是在地面参考系看

地面参考系是一个转动参考系啊

那么这个问题呢 因为涉及的是一个质点啊

它的质量是一定的 所以我们在这里面呢

把质量去掉 只考虑相应的这个加速度关系

那么相应于离心力 那么有一个离心加速度

这个离心加速度 刚才我们说了就是这种的一个表示

那么这里面这个r 实际上是

转动的中心到这个质点的这个矢径 就是这个

那么实际啊 地表面上所受到的重力加速度啊

是引力加速度和离心加速的叠加

那么根据这个余弦定理我们很容易算出来

这个g啊实际上是这个

相比引力加速度 这个离心加速度实际上是很小的

对于这个式子啊 你很容易把它近似

近似出来也是这个式子

那么引力加速呢

你可以通过万有引力公式把它计算出来

离心加速度呢 根据这个式子你也可以计算出来

当然地球的这些数据啊也都可以查到

计算出来以后我们就可以计算任何一个纬度的重力加速度

举个例子 在北极的加速度 重力加速度

因为在北极

因为r是等于0的 所以没以后离心加速度

所以只有引力加速度

那这个时候呢它是重力加速这个值

在赤道呢 因为离心加速度是最大的这个时候

所以相应呢 这个赤道的这个重力加速度啊它是最小的

用这个式子算算

这个式子在这个赤道的情况θ是等于90°

所以相当于在赤道情况是 引力加速度减去离心加速度

得出来的结果呢就是这个

那么通常我们在地面用得这个重力加速啊

实际是已经考虑了离心加速度的情况

因为你是在地面上用这件事情

地面的意思就是你在地面参考系考察

地面参考系不是非惯性系吗

下一个例子是科氏力

我们考察这个地球表面附近的科氏力的效应

那么科氏力 总是和在这个转动参考系里面

质点的相对运动有关系 对吧

那么假设在地球表面的这个速度啊

我们用三个分量来表示

这三个分量啊实际上是球坐标的这个分量

一个是沿着径向的速度

一个是沿着这个纬度方向的速度

一个是沿着经度这个方向的速度

那么这个时候呢科里奥利力的表示是什么

就是在地面参考系你所受到的这个虚拟力这个惯性力

应该是这么计算

那么根据这个公式呢

我们可以讨论几个具体的问题

第一个 经常有人说落体偏东 这是什么意思呢

就是当你扔物体啊 从天上掉下来的时候

这当然指的是北半球的行动

那从这个掉下来的时候

也就是说这个质点的速度是–Vr 向下

这个时候呢它受到的力

它受到的科氏力应该是什么呢

用右手螺旋论证 这是叉积 得用右手螺旋

所以说速度的方向是 你看我在这里比划一下

速度的方向是向下的 对不对

ω的方向是向上的

所以你要用 看见没有 右手螺旋

所以这个方向就是科氏力的方向

所以实际上当一个物体从天上掉下来的时候

它会受到一个虚拟的科氏力它是向东的方向

这不是东的方向吗 所以落体偏东

另外一个呢 我们说江水冲刷右岸

你在这个地面上 江水当然是在地面上流动对不对

在北半球 你无论你这个速度的方向是什么方向

因为你这个科氏力啊总是速度叉上ω

所以科氏力的方向就是

从这个江水的速度然后右手螺旋再往ω的方向

所以无论你这个江水的速度方向怎么样

因为你是用右手螺旋

所以江水总是受到向右的科氏力

所以我们说江水总是冲刷右岸

所以你北半球在任何地方你看那个 江啊 河啊

右岸总是比左岸陡 这是因为水对它冲刷的结果

下面我们看 信风实际上也跟科氏力有关

信风是指什么呢

就是指在地球的赤道上有一个绕着地球转动的风

那么这个呢 实际上是这样

当你这个太阳照射赤道的时候

温度升高 那么空气向上上去

那赤道附近的这个空气密度减少

所以其它地方的空气呢就往这个赤道方向走

那么这个时候呢走的时候 它不是有移动吗

它就会受到一个科氏力

比如说在北半球 那么这个气体呢往赤道方向移动

那么它这个受到的科氏力是速度向ω方向叉

所以你看到这个科氏力方向是向右的

所以这个气体呢向这个方向受力

那在这个南半球啊它这个方向都是相反的

你比如说在南半球它也由空气往这个赤道方向走对不对

但是在南半球 它是南半球这个是这样 对不对

所以你要把叉乘的话你会发现

右手叉上 ω方向向上 叉上

所以科氏力的方向也是向右(西)的方向

所以这就形成了信风

另外这个旋风的形成啊 也跟科氏力密切相关

你比如说在北半球

如果你在空气 空气当然有密度啊它是随时变化的

它某一个偶然的时刻 假如说某一个区域

空气压突然减少了

空气压减少 外面的空气就会进来

外面的空气进来的时候 这不是有速度移动吗

于是它受到一个科氏力 角速度是向上的

所以科氏力 于是受到科氏力以后空气呢它就开始转

一边进来就这样转 于是呢这个形成了旋风

一旦形成旋风以后里面气压就变低

气压越低呢 外面空气就更多的进来

更多进来的空气呢速度很快 受到科氏力就很强

它就转的越来越快

这就形成了旋风

这一节就讲到这 谢谢