2.8 傅科摆*在线视频

同学好 这一节我们讲傅科摆

这是单星号内容

先看一段演示实验

以摆面后竖直杆为参照

可以看到摆面相对实验室系始终是不变的

当摆面转动时

沙漏在盘面上给出了梅花瓣样的图案

下面呢 我结合演示实验讨论傅科摆现象

实验中我们看到

这个摆相对于实验式参考系它的摆面是不改变的

无论下面这个圆盘是静止的还是旋转的

这个摆面都不受影响

假如这个摆的平衡点和圆盘的中心是重合的

那么这个摆呢一定会经过自己的平衡位置

也就是说它一定会经过这个圆盘的中心

假设这个圆盘是以角速度ω逆时针旋转

我要在圆盘这个参考系上观察这个摆平面的话

摆平面自然会以相反的方向旋转

也就是说这个摆平面会以角速度ω顺时针旋转

在圆盘这个参考系

你要用牛顿方程来解释这个傅科摆现象的话

当然我们要引入惯性力

在旋转参考系 惯性力有两个

一个是科里奥利力 一个是离心力

如果你仔细看一看 在这个摆摆动过程中

在圆盘参考系看来

这个离心力的方向总是和摆面差不多是平行的

所以这个离心力对摆面的转动几乎没有什么影响

主要起作用的是这个科里奥利力

那么这个科里奥利力里面

v′实际上是摆相对于圆盘的速度

而这个ω是圆盘转动的角速度

假如这个摆啊摆幅不是很大的时候

摆的速度实际上基本平行于圆盘这个盘面

我们现在从摆的上方看这个问题

这个圆盘以角速度ω逆时针旋转

我们现在是在圆盘参考系观察这个摆平面的运动情况

为了参照我在这个里面画了一条虚线

当然这个虚线在圆盘这个参考系它是静止不动的

假设现在摆 摆过来了

这个时候呢因为科里奥利力

它的速度方向呢是这个方向 ω的方向是向这个方向

所以右手螺旋规则

给你科里奥利力的方向实际上是指向右侧

所以这个摆在摆动过程中向右偏转

到了那一边以后呢 它又接着摆回来

摆回来的时候

我们看到这个速度的方向和角速度的方向

右手螺旋的结果科里奥利力仍然是指向右侧

所以我们看到当摆这个摆动的时候啊

这个摆面实际上是顺时针旋转

我们前面说了 它是以角速度ω相对于这个盘面旋转的

如果你在圆盘参考系

用这个科里奥利力想推出这个角速度ω的偏转速度的话呢

这个比较麻烦 我们不在这儿做了

在这里面呢可能大家注意到一个现象

当这个摆从振幅最大的地方摆过来的时候

它相对于这个虚线呢稍稍向左偏了一下

这是什么原因呢

这是因为啊

这个摆在振幅最大处它相对于实验室系它是静止的

但是这个盘呢是转动的

所以它相对于这个圆盘有一个向下的速度

这个速度呢可以用这个式子来表示rω

这个大家都知道

那正是因为这个速度它先向左偏转一下

随后呢由于科里奥利力向右侧的这个拉力

它逐渐向右偏过来

那么这一侧振幅最大的地方

它相对于实验室系虽然是静止的

可是相对于这个圆盘不是有一个向这个方向的速度吗

因为圆盘是这样转动

所以它在这里面也画了一个圆弧

然后再摆过来

摆过来以后呢它受到科里奥利力再右向 向右侧偏转

这就是我们在实验中观察到的现象

下面我们讨论一下地面上的傅科摆现象

我们现在研究北半球θ角这个位置有一个摆

这个时候这个摆面呢实际上相对于惯性系是不改变的

也就是说如果你从遥远的恒星或者是从太阳参考系

观察这个摆面 摆面是不动的

但是地球本身在自转

所以在地面上看来这个摆面就会有转动

那么在这个位置呢

沿着摆的前垂线方向

地球自转角速度ω有一个分量

我们把它叫做ω⊥

这个ω⊥ 当然很容易计算出来

它是这个地球自转角速度乘上cosθ

这个θ角其实是纬度角的余角

那么我们知道 实际上这个摆呢在地面看来

它是以和地球自转方向相反的

以角速度ω⊥的大小在旋转

那么在地面参考系我们要想解释这个现象的话

当然我们需要一个科里奥利力

那么这个科里奥利力呢

当然我们知道它就是这个叉积

那么使得这个摆平面偏转的这个科里奥利力呢

应该是角速度是沿着摆的前垂线方向的那个分量

这个起作用

这个速度呢

速度当然这个摆 摆幅不太大的时候

它实际上是平行于地面方向的

那么利用这个科里奥利力我们在地面上观察

从摆的上方观察

相当于这个摆下面的地面是以角速度ω⊥逆时针旋转

在这里面呢为了观察方便 我们也画了一条参照线

这条参照线在地面上它是不变的

我们把这个摆呢拿到这个摆幅最大的位置放松

这个时候呢 这个摆呀 会受到科里奥利力

那这里面的角速度要用当地沿着摆前垂方向的那个分量

我们看到这个摆的过程当中

因为这个科里奥利力的方向是

速度叉上ω的方向 是向右偏转

所以摆平面是向右偏转

到了那个振幅最大处呢 它又折回来

折回来的时候呢 它也是同样受到一个科里奥利力

这个科里奥利力呢也是速度方向叉上ω的方向 不是向右吗

那么这个摆呢在摆动过程中

因为这个科里奥利力啊 不断的顺时针偏转

它偏转的角速度往这 它是ω⊥这个分量

那么我们注意到 在地面上这样的单摆啊

实际上它的径迹在振幅最大的处它是尖的

跟我们刚才试验中观察到的那个画弧线的那个不太一样

这是什么原因呢

这是因为你在地面参考系你把摆幅最大处放手的时候

这个摆 实际上相对于地面这个参考系它是静止的

所以它没有横向移动

只是受到科里奥利力向右侧偏转

由于这个科里奥利力

它永远不能路过它的这个平衡位置

到那以后呢 折回来的时候

它相对于地面速度又是等于0啊

所以它直接折回来形成了这样这个尖的这个图案

那么在北京这个天文馆啊也有一个傅科摆

北京这个位置在地球的纬度是39.9°

那么这个傅科摆 在北京天文馆

它摆面旋转一周的周期是多少呢

我们很容易算出来它是2π除以这个ω⊥

这个ω⊥是北京当地 角速度沿着铅垂线方向的分量

那么我们很容易算出来

这个周期实际上是24小时除以sin这个纬度角

计算出来的结果 它是37小时25分钟

好 这一节就讲到这 谢谢