4.8 有心力场中质点运动简介1**在线视频

大家好 从这一小节开始呢

我们给大家介绍有心力场当中质点的运动

我们分两小节介绍

首先我们介绍有心力

什么是有心力呢

有心力是这样的一种力

这个力的作用线始终通过一个固定中心

这种力呢就叫做有心力

我们把那个固定中心呢称为力心

有心力呢可以表达成一个

很简单的函数形式F = f(r)er

这个r呢

就是质点相对于这个固定中心的位矢的大小

这个er呢就是位矢方向的单位矢量

或者说r是相对于力心的位矢

er是单位矢量

我们可以证明有心力一定是保守力

那么它所对应的势能呢

可以通过这个表达式积分的办法得到

最后写出来是这样的

这个势能呢只和这个质点到力心的距离有关

当然这个V(r0)呢可以当成是势能零点

如果你规定它等于0的话

那么这一项就没有

这是有心力的概念

下面我们介绍有心力场当中质点的运动方程

大家思考一下

如果一个质点在有心力场当中运动的话

那么它的什么物理量会守恒

它有两个重要的守恒量

我们讲角动量的时候实际上已经提到了

在有心力场当中呢

质点运动的话它的角动量是守恒的

当然这个角动量是对力心而言的角动量

另一个守恒量呢就是机械能

所以有心力场中质点的运动呢

有两个重要守恒量

一个是角动量 是对力心定义的角动量

L等于常矢量

当然它的轨道一定在一个平面上

这个就是开普勒第一定律

第二个是机械能

机械能是一个守恒量它等于常量

下面我们就根据这两个守恒量呢

把质点在有心力场中的动力学方程导出来

我们采用极坐标系

极坐标系是比较简单的办法

这个极坐标系的原点呢要选择力心

要选择力心呢为坐标原点

极坐标系的两个单位矢量呢

一个是横向eθ一个是径向er

那坐标是极角和矢径

在极坐标系下

这个质点相对于质心的位置呢就非常简单

就是矢径乘以径向的单位矢量

那么速度呢

速度呢就等于横向速度和纵向速度叠加

横向速度呢是rθ一点

径向速度呢是矢径对时间的导数

利用这两个量呢

我们可以把这个质点

相对于力心的角动量表达出来

当然机械能也可以写出来 我们写一下

根据角动量守恒我们可以写

这个质点相对于力心的角动量等于r×mv

然后把极坐标系下这个r和v的表达式代入

那么我们看这个叉乘的结果是什么呢

会出来两项 这两项里会出现er×er

er×er就等于0

还会出现er×eθ

我们整理一下 结果就是这个会得到

角动量=mr2θ一点然后乘以一个(er×eθ)

er×eθ我们不管它

因为我们知道角动量守恒

就意味着它的大小是一个常数

然后它的方向也是不变的

我们现在需要的就是

它的大小等于常数这个特点

就是mr方θ一点等于角动量的大小

它是一个常量

这是一个方程

接着我们看机械能守恒

机械能守恒就意味着

质点的动能加上它的势能等于一个常数

那么这里头这个动能等于什么呢

大家看这个括号

速度的平方就是

径向速度的平方加上横向速度的平方

径向速度的平方就是r一点平方

横向速度的平方就是rθ一点平方

或者你两个点乘

点乘的话 这个出来左边这一项的平方

会出来右边这一项的平方 还有交叉项

交叉项就是er・eθ 它的点积结果为0

所以最后的结果就是速度的平方就等于

径向速度平方加上横向速度平方

写出来是这样子

那当然了它应该等于机械能它是一个常量

在这个公式当中呢

出现了这个极角对时间的导数θ一点

那么我们希望

把这个方程完全变成是关于矢径r的方程

那么我们就把(1)这个方程里头的θ一点代进来

把这个θ一点消掉

就得到了一个关于r的方程

这个方程中有3项

这个方程(1)和方程(2)呢

就是有心力场当中质点运动的动力学方程

它可以取代牛顿方程

而且它的优点是什么呢

它是关于极角以及矢径的一阶微积方程

很容易求解

我们下节课会介绍这个方程的解

那么角动量和机械能是由谁来决定的呢

注意角动量和机械能这两个常量呢

是由初始条件决定的

什么是初始条件呢

就是初始的位矢和初始的速度

这就是初始条件

因为给定了初始的位矢r0

和初始速度v0之后呢

我们就可以得到角动量具体的数值

以及机械能具体的常数值

这个初始条件和这个势场的具体形势呢

最后会决定你这个质点运动轨道的特征

这个轨道特征包括它的封闭性

它的形状大小和取向

这个下节课我们会介绍这些

好 这一小节就上到这儿 谢谢大家