4.4 由势能求保守力、梯度*在线视频

大家好 这一小节我们学习如何由势能求保守力

然后给大家介绍一个重要的概念梯度

那么我们知道我们可以通过保守力做功来计算势能

这是一个定积分

反过来如果我们已知势能呢如何求保守力

从数学运算角度看这就是一个逆运算就是微分的关系

但是这个微分关系并不简单

我们这小节就把这个关系给大家讲出来

现在这是一个质点假设它在保守力场当中运动

那么它所受到的保守力我们用这个红的箭头来表示

现在我们在空间中呢选定一个方向l

注意l是一个我们选定的空间方向

那么保守力沿着这个方向的投影

是这个蓝的这个箭头所表示的

现在我们就想象这个质点沿着l这个空间方向呢

作一个元位移是dl

根据保守力和势能的微分关系呢

我们可以列出这样一个方程

就是保守力做的元功等于势能微分的负值

这个保守力点乘这个元位移等于什么呢

恰恰就是这个保守力沿l方向的分量

和这个元位移的大小相乘

这样呢我们就得到了保守力沿l方向的分量

等于这个表达式

就是它等于负的势能的微分比上元位移的大小

我们把这个势能的微分比上元位移的大小

称作势能函数沿着l这个方向的方向导数

所以保守力就是什么呢

保守力就是在某点处

保守力沿空间某一个方向的分量呢

等于势能函数沿着该方向的方向导数的负值

那么我们关注一个特殊的方向

给大家提出一个问题

就是这个空间的方向假设变化

那么我们问在什么方向保守力分量的绝对值会达到最大

很显然有两个方向

就是当l这个方向和保守力的方向一致的时候

那么保守力的分量这时候就是保守力

所以它的大小就达到了最大

还有一个方向就是l这个方向呢和保守力方向相反

这样呢保守力沿着这个方向分量的大小仍然是最大值

那么我们就关注这个相反的这个方向来讨论

我们把这个相反的方向呢记作n

沿着这个方向的元位移记作dn

那么保守力沿着这个方向的单位矢量

写出来的话应该是什么呢

就是这样 保守力等于

沿n方向的分量乘上n方向的单位矢量

注意这个n的尖角号表示n这个方向的单位矢量

保守力沿n这个方向的分量等于什么呢

就等于负的势能函数对n方向的方向导数

下面我们就定义一个新的概念叫做梯度

梯度是一个求导运算乘以一个方向矢量

单位方向矢量 是这样

就是专门对n这个方向求导然后乘以n方向的单位矢量

引入梯度的概念之后呢

保守力就表达成负的势能函数的梯度

刚才我们已经讨论过了

在这个n方向上呢

保守力它的投影的绝对值呢达到了最大

也就是这样保守力的绝对值等于

势能函数在n这个方向的导数

注意在n这个方向呢

势能函数的方向导数值达到了正的最大

这意味着什么呢

意味着势能函数在这个方向的微分量是最大

这样呢我们可以总结出来

标量函数的梯度的含义是什么呢

标量函数的梯度就是

方向是指向标量函数增长最快的方向

而它的大小呢就是标量函数的方向导数的最大值

这就是梯度的含义

下面我们给出一个大家计算梯度的办法

在直角坐标系下呢

这个势能函数通常就是xyz坐标的函数

那么我们根据势能的微分和元功的关系呢

保守力元功的关系呢

我们把势能的微分在直角坐标系下的表达式写出来

这是势能的微分它等于负的保守力点乘元位移

在直角坐标系下保守力点乘元位移等于什么呢

就是把保守力的各个分量

和相应坐标的微分相乘然后累计求和

写出来的表达式就是这样

那么现在我们关注

各个坐标的微分前头的系数的等于什么

这个系数根据微积分学结果就是

相应坐标前头的微分的系数呢

等于势能函数对这个坐标 相应的坐标求偏导数

这个结果是这样的

比如说保守力沿着x方向的分量

就等于负的势能函数对x坐标求偏导

这样呢我们可以把保守力写成矢量形式

写出来就是这样

对于这个表达式呢我们采用数学上的一个算符来表示

这个算符是哈密顿算符

它也是一个矢量偏微分算符

就是对相应的坐标求偏导

乘以相应坐标的方向的单位矢量

然后求和 这称为哈密顿算符

有了哈密顿算符呢

我们可以把保守力表达成为

负的哈密顿算符作用到势能函数上

那么我们把这个公式和前头梯度公式合到一块

总结出来保守力是什么呢

保守力就等于负的势能函数的梯度

等于负的哈密顿算符作用到势能函数上

我们给大家介绍哈密顿算符的目的就是

告诉大家如何计算势能函数的梯度

所以有人也把这个哈密顿算子称为梯度算子

那么我们刚才给的这个哈密顿算符呢

是直角坐标系下的表达

它在球坐标系 柱坐标系有不同的表达方法

有兴趣的同学可以去看参考书

根据梯度的含义呢我们就可以知道

保守力的方向是指向什么方向呢

是指向势能函数下降的方向

这一点要特别注意啊

标量函数梯度是指向标量函数增长的方向

那么保守力自然就是指向势能函数下降的方向

下面我们给大家举一个简单的例子

这是弹性势能它和位移的平方成正比

现在这个表达式当中没有出现yz坐标

那么问这个保守力是什么 弹性力是什么

那么我们就根据这个哈密顿算子

作用到这个上头求偏导可以得到保守力

最后所要计算的弹性力呢就只有x分量

就只需对x求偏导得到的结果就是这样的

-k(x-x0)i

所以没有yz分量 只有x分量

好 这一小节就讲到这儿 谢谢大家