10.1 玻耳兹曼分布律和平均自由程（一）在线视频

同学们好

那么这节课呢我来给大家介绍一种新的分布律

玻尔兹曼分布律

我们首先来回顾一下麦克斯韦速度分布律

我们看到啊速度分布律的指数上

都有一个1/2mv2

这个是什么呢

实际上就是分子的动能

那好了那么玻尔兹曼呢就想

如果把这个东西啊推广到一般的能量

分子的机械能也就是包括动能加势能 会怎么样

那么这个就实际上成为了

玻尔兹曼分布律的这个起因

那么我们看 如果加了这一项之后

那么实际上呢这分布律就同时是坐标和速度的函数

这个空间呢会变成6维的一个空间

我们把这个空间呢分成两部分

一部分是只跟速度有关的

这一部分呢叫做速度因子

那么另外一部分呢是和空间坐标有关的

我们把这个和速度有关的部分啊

把积分积掉P0 这是我们不感兴趣的东西

剩下这个只和空间有关的部分呢

它的含义就是单位空间间隔内的分子数

那么显然它是和分子所在的位置的势能

是有关系的 这个势能越大 这个分子数越小

下面啊我要把这个单位空间间隔除到左边去

这个含义就是

单位空间间隔的分子数 也就是分子数密度

那么分子数密度呢 就直接和空间所在位置的势能

是有直接关系的

那好了那前面这个常数C'怎么办啊

我们来取势能零点

假设势能零点啊

它的势能是0这个位置呢是已知的

那么把这个值带进去呢就得到了

c'等于什么呢

等于这个势能零点的分数密度

我们把它叫做n0

这样我就获得了一个非常直观的式子

分子数密度呢

只要知道了势能零点的分子数密度

整个位置的分子数密度就都知道了

尤其是在重力场当中

粒子数按照重力势能的分布

我把这个势能换成重力势能

这个式子是非常有用的

它可以用来干什么呢

它可以用来设计高度计

高度计的原理啊 其实就是这么一个原理

对于确定的温度下面

我们知道压强和分子数密度是成正比的

按照这个理想气体状态方程

这样我把这个分子数密度直接换成压强

就得到了什么啊

就得到了一个压强和高度的关系

我们只要知道地面速度压强大气压

我就知道任意高度的这个压强

反过来我测量了任意的高度的这个压强

我就知道这一点的高度

这个就是高度计的一个原理

当然它的前提条件必须是什么呢

必须是要恒温

所以它叫恒温气压公式

那么如果它不是恒温的话

这个式子是不对的

现在呢我们来给大家来讲一个例子

我们估算一下珠穆朗玛峰峰顶的这个大气压强

因为我们知道啊

空气的这个摩尔质量大概是29g/mol

而珠峰的高度呢是8844米

我们假设海平面也就是地面的大气

气压是一个大气压 温度是300K

按照这个式子往里一代呢我们就知道

这个珠峰峰顶大气压是多少呢

是0.36个大气压

这个明显要比地面要小很多

所以我们在珠峰峰顶时会有呼吸困难的问题

因为大气压小实际上代表

这个氧气的含量要更小

那么这里给大家提一个疑问

我们知道在地面上的时候呢

氧气的含量大概是21%

氮气的含量大概是78%

那么在珠峰峰顶的时候

氧气和氮气的相对的比率

应该是有没有变化呢

这个留给大家自己去思考

我们数玻尔兹曼这个分布律啊

它不止是对理想气体是成立的

而且对任何微粒

包括气体液体固体原子布朗粒子等等

它在保守力场比如说重力场静电场等等

这些场中呢它的分布全都是适用的

因此它具有一个非常广泛的应用

而且它对原子或者分子中的粒子

按照能级的分布也是适用的

比如说如果原子的这个激发态

和基态的这种能级差我们知道是ΔEp的话

那么激发态的粒子数

和基态的粒子数的比值就是这个比值

当然这是指热平衡的状态

那么我们知道原子能级的差别

大概是一个电子伏的量级

我们以前讲过一个电子伏呢

对应大概是1万K

这句话的意思大概是什么呢

在常温下原子的激发态是不能被激发的

因为这个能级差远远大于室温的这个KT

一比呢这个比值是很大的

所以呢激发态的比例非常非常底

因此我们基本上认为

激发态是不会被激发的

那么这个式子也可以理解

我们之前讲过的那个振动自由度

在常温的情况下不会被激发的这个原因

也是可以用来解释

那么这节课呢我们讲到这 谢谢