3.2 质点系动量定理在线视频

同学好 这节我们讲质点系的动量定理

考虑有N个质点组成的一个质点系

那么每个质点受到的外力以及内力我们都知道

我们用大写的F表示外力

小写的f表示它们质点之间的相互作用内力

那么对于这个某一个质点第i个质点它受到的力呢

实际上是外力加上所有其他质点给予它的内力

那么总的力呢当然等于i这个质点动量的时间变化率

这是牛顿定律

那么其它粒子也有类似的方程

方程的形式都是一样的

我们把所有这N个方程统统加起来

我们就得到了 这样的一个式子

这里面呢导数和求和 它们的运算可以调换次序

所以第i个质点的动量时间变化率求和

你也可以把它变成所有质点动量的求和

然后再对它对时间求导数

那么再这个式子里面

所有外力作用在这个质点系的

我们把它叫做总的外力F

所有的质点的动量的和

我们把它叫做质点系的总动量

那里面有一个互相之间的相互作用内力求和

这个内力呢 是这样

第i个粒子对j有一个力的话

第j个粒子对i也有一个反作用

所以我们把这个内力统统求和的时候

我们按两个作用力和反作用力搁在一起这样求和

因为每个内力都有它的反作用力

可是根据牛顿第三定律

这个作用力和反作用力大小相等方向相反

所以它是等于0的

所以N粒子质点系总的内力它是等于0的

所以呢刚才那个式子里面呢就只剩下总的外力了

那么这个总的外力就等于

质点系总的动量对时间的变化率

这个就是质点系的牛顿方程

我们也可以给出质点系的动量定理

也就是说冲量呢是等于总的外力乘上持续时间

那么根据这个方程 我们知道这个冲量就等于动量的改变

也就是说我们得到了质点系的动量定理

下面呢 我们给一个例题

假设现在有一个软绳 它是立起来的

它的线密度是ρ 也就是单位长度的质量是ρ

然后呢 一端刚刚着地 长度是l

你放开它 那么这下面呢这个软绳就开始堆积

这个时候问任何时候这个软绳给地面的压力等于多少啊

那么当然我们沿着竖直的方向建立一个坐标 对吧

原点选择在地面 这个时候绳的这个高度就是y

我们可以把这个软绳啊看作是一个N个质点系

为什么呢

因为我们可以把这个软绳啊切成无数个小段

每一个小段看成是一个质点

那么对这个质点系来说

假设它给地面的压力是N的话

当然地面就会给它一个支持力

所以根据刚才质点系的牛顿方程

我们得到支持力和这个重力 软绳的重力

重力的方向向下 所以我们用负号

等于什么呢 整个软绳的动量对时间的变化率

那么这个软绳落在地上以后啊 它就静止了 就没有动量

动量贡献主要来自于上面正在下落的这一段

正在下落的这一段动量

当然是ρ乘上这个y长度不是质量吗

乘上速度不就是动量吗

那么这里面的这个速度呢

当然是等于y的时间变化率

那么速度的变化率呢就是加速度

那加速度方向是向下所以是负号

我们把这个式子带到这里面也就是对时间的变化率

实际上是对y v这两项进行 ρ是一个常量

对这个两项的导数

如果你对v求一次导数它就变成了负的加速度

如果对y求导数呢它是速度 所以出来了一个v平方

这个绳子下落的时候这个速度啊

我们可以利用这个自由落体公式来计算

当然我们知道这个下落的速度啊很容易算出来

把这个式子和这个式子一起代到前面的牛顿方程

我们就得到了对地面的这个压力

实际上是等于3ρg(l-y)

我们考虑这样一个情况

也就是这个软绳啊刚刚全部落在那个地面的瞬间

那个瞬间当然是y＝0

所以那个时候它给地面的压力是三倍的这个绳子的重量

我们经常遇到这样的一个情况

当你背着人的时候

这个人神志清醒的时候他比较轻

假如这个人瘫软下来的时候啊

你一下感觉到一个重力的增加

其实就是这个软绳往下掉下来的这个效应

好 这一节就讲到这儿