4.5 均匀球体的引力**在线视频

大家好 这一小节我们给大家举个例子

计算均匀球体对其它质点产生的引力

那么我们会提出这样一个问题就是

求均匀球体对其它质点产生引力的时候

这个均匀球体能否看成是质点

那么我们这小节通过计算来回答这个问题

我们首先求均匀球壳对一个质点产生的引力

这个大圆呢是代表均匀球壳

它的半径是R 圆心是O 质量是m

m0呢代表一个质点 它到球心的距离是r

我们忽略球壳的厚度

这就意味着这个球壳的质量分布呢

可以用质量面密度来描述

这个均匀球壳的质量面密度呢

就是ρ=m/(4πR2)

下面我们考虑如何计算这个均匀球壳对m0产生的引力

通常我们会这样设想

就是把这个球壳进行剖分

列出小面积元对于这个m0的万有引力

然后想办法积分来算

这是一种方法可以计算出来这个球壳对m0的引力

我们提供另一个思路

既然我们学习了势能

那么我们能不能通过先求它们之间的引力势能

然后再通过引力势能求导数的办法计算出来

球壳对m0的引力

这种方法是可取的

我们就用这种方法来计算均匀球壳产生的引力

那么这个在选面积元的时候呢

我们通常会根据对称性来选择面积元

显然在这个问题当中呢

它具有一个旋转对称性也就是轴对称性

那这样呢选取面积元我们就会选取一个圆环面

这个圆环面的这些位置参数呢是这样

这是θ角 表示圆环面宽度的这个角度呢是dθ

那么它的宽度就是Rdθ

这个圆环面的半径呢就是Rsinθ

这样呢圆环面的面积就等于周长乘以宽度

周长是2πRsinθ 宽度是Rdθ

好了 我们注意

圆环面上每一个小的部分到m0的距离是相同的

我们把它设成是x

这样的话 我们可以直接写出

这个圆环面和m0之间的引力势能

这个引力势能就是负的万有引力常量

乘以圆环面的质量乘以m0比上x

那么圆环面的质量是什么呢

就是质量面密度乘以圆环面的面积

也就是括号中显示的这一项

我们把这三个式子结合

消掉质量面密度和这个dS环面

可以得到他们之间的这个势能呢

和这个角度之间的关系

这个是势能与这个θ角之间的微分关系

通常的思路就是只要找到x和θ角之间的关系

代入然后对θ角积分就可以了

那么这样的办法稍微有点复杂

我们要寻求这个θ角和x关系

然后想办法把势能表达成和x之间的这个微分关系

那么这关系是这样的

x和θ之间的关系呢是通过这个三角形来反映的

根据余弦定理有这个表达式

那么我们对两边进行微分

对两边进行微分注意

这个r2和R2呢都是常量 微分就没有了

这样我们就得到sinθdθ/2x等于什么呢

sinθdθ/2x它就等于dx/2rR

所以用x来表达这个势能函数的话

它们之间的微分关系是非常简单的

下面我们就进行积分

这个积分呢分这个m0

在球壳内和球壳外两种情况来积分

当m0在球壳外的时候呢 大家看

这个x的积分上下限注意要从

r-R这一点积到下面这一点 积到r+R

这个结果积出来呢就是一个和r成反比的关系

这么一个表达式

当这个m0在球壳内的时候呢

这个积分上下限是从R-r积到R+r

这个计算结果很简单就是一个负的常量

那么我们把这些结果整理一下

球壳和质点之间的引力势能呢

是在球壳内的时候它是一个负的常量

在球壳外部的时候呢

就是一个与距离成反比关系的这么一个表达式

当然是负的

那么注意一下这个势能零点的选择是在无穷远

为势能零点

下面我们就根据这个引力势能呢

来求它们之间的万有引力

由于对称性呢

我们实际上是把这个问题转化成了一个一维的问题

一维的问题对于这样问题呢

我们求万有引力的时候呢

只需把势能函数对这个r这个距离求导就可以了

然后加一个负号

注意别忘了加负号

所以球壳和质点之间的引力呢

就是负的势能函数对r这个坐标求导

最后的结果是这样

当这个质点在球壳内的时候 它受力为零

在球壳外的时候呢是平方反比律的关系

那么我们画图把这些函数关系表示出来

这就是当质点在这个球壳内部的时候

它和球壳的万有引力势能是一个负常量

在外部的时候呢是和距离成反比的关系

那么在球壳内的时候受到的万有引力为零

在球壳外部呢是一个平方反比律的关系

总结出来是这样的

质点在球壳外的时候

球壳对于这个质点的万有引力呢

可以等效成一个质点对于这个m0的万有引力

这个质点的质量等于球壳的质量 它的位置在球心处

质点在球壳内的时候m0在球壳内的时候呢

它所受到的万有引力为零

为什么会这样呢

这个其实有一个非常深刻的原因

就是万有引力遵从平方反比律

下面我们就对这个平方反比律做一个进一步的讨论

在讨论之前

我们给大家介绍一个数学上的概念叫做立体角

现在这是一个球面

我们在球面上选择一个无穷小的面积元

我们用ds′表示

那么这个ds′和球心的连线呢

是和这个小面垂直的

这个ds′这个面元呢相对于球心张开了一个锥面

我们在这个锥面内呢

还可以选择另一个小面积元ds″

我们要求ds″那个小面元是和这个连线是垂直的

那么在这个O点球心O点的另一侧呢

跟这个锥面相对顶的方式呢可以张开另一个锥面

在那个锥面内呢我们可以选择第三个小面积元ds′″

同样我们要求那个小面元的这个平面呢

是和这个连线方向垂直的

那么立体角定义是什么呢

立体角首先从几何上看

大家去想像就是

这个小面元相对于O点张开了一个锥状的那个顶角

那么这个立体角定义这个dΩ是什么呢

就是ds′这个小面元的面积比上它到O点距离的平方

就是比上OO′的平方

根据几何上的相似性

我们不难证明它也就等于

ds″/│OO″│2=ds′″/│OO′″│2

好 这是立体角的原始定义

那么我们现在要问这样一个问题

现在有一个无穷小的面元

我们要求它对O点这开的这个立体角

注意现在这个面元ds的所在的平面

是和它们之间的连线不垂直的

或者我们把这个小面元定义成是矢量面元

这个矢量面元的法向呢

是和连线的方向就这er的方向呢不平行

它们之间有个夹角θ

那么我们问大家

如何求这个ds这个面元对O点张开的立体角

我们根据这个定义可以知道

只要找到一个垂直面元比上距离平方就可以了

那么我们就这样找这个垂直面元

过这一点做垂直于这个连线的方向的一个面元

我们把它记作ds⊥

ds⊥和ds的关系是什么呢

这样我们把这个它们之间的二面角画出来

显然它们之间的这个夹角呢就是θ

所以ds⊥呢就是dscosθ

好 这样呢我们就可以把立体角表示出来

这个立体角就等于ds⊥/r2

ds⊥就等于dscosθ

那么dscosθ是什么呢

就是这个矢量面积元点乘er

这样子我们就找到了如何计算一个小面元

对于选定点所张开的立体角

就是把小面元定义成矢量面元

然后用矢量面元点乘它们之间连线方向的单位矢量

除以它们之间距离的平方

这就是这个面积元对O点张开的立体角

下面我们就用这个公式呢来讨论这个平方反比律

我们回到球壳的这个图形啊

这个m0现在在球壳里面待着

我们在这个球壳上选择两个小面元ds1 ds2

我们把它定义成矢量面元

然后它们和这个m0之间连线的方向呢

这个单位矢量呢我分别记做er1 er2

我们选择的这两个小面元呢

要求它相对于m0这个质点张开对顶的立体角

大家注意看这个几何关系啊 它是对顶立体角

另外要注意的就是ds1和er1之间的夹角

等于ds2和er2之间的夹角

那原因很简单就是

O O1 O2这个三角形是一个等腰三角形

所以它们之间夹角相等

按照我们的要求呢

这个ds1和ds2这两个小面元张开对顶的立体角

我们可以列一个等式

就是立体角相等的等式

就是ds1・er1／r12=ds2・er2／r22

这两个点积当中会出现夹角的余弦

由于那个夹角相同所以余弦消掉了

那么就得到了ds1／r12=ds2／r22

下面我们就是在这个等式两边同乘以万有引力常量

乘以质量面密度 乘以m0

那么我们会得到什么

我们就得到这个关系

这个质量面密度乘上这个小面元的面积呢

就是小面元的质量

分别是dm1和dm2

这个式子是什么呢

恰恰就是小面元ds1对m0的万有引力

等于小面元ds2对m0的万有引力

这两个力是相等的

也就是说这两个力抵消掉了

这样子我们倒过来说就是

恰恰是因为万有引力的平方反比律的这种性质呢

才能让我们从这关系得到

这两个小面元的万有引力抵消

如果万有引力不遵循平方反比律

那么这两个小面元对m0的引力是抵消不掉的

我们现在分析了两个小面元

那么我们可以在球面上还选择其它的两个小面元

它对m0仍然是张开对顶立体角

那么那两个小面元呢也是对m0产生的万有引力会抵消

这样的话我们就会得到一个结论

就是我们只要把球面刨分成一对一对的这个小面元

每一对小面元对m0张开的立体角相同

那么这些小面元对m0产生的万有引力都会抵消掉

最后的结论就是这个球壳对m0的万有引力为0

我们总结出来就是这样

平方反比律会导致相对面元引力抵消

最后导致m0不受力

下面我们来讨论这个均匀球体对一个质点产生的引力

什么是均匀球体呢

均匀球体严格的定义就是指这个密度是一个常数

密度是常数的话

那么我们怎么求均匀球体对m0这个质点的万有引力呢

我们把均匀球体看成是同心球壳的叠加

这样我们就可以利用同心球壳的结果呢

直接把均匀球体对m0的万有引力说出来

那就是均匀球体 这同心球壳的叠加

那么均匀球体对m0产生万有引力

可以等效成一个质点对m0的万有引力

这个质点的质量就是均匀球体的质量

它的位置就在球心处

当然这个结论也可以推广到

这个球体的密度是随这个距离呈一个函数关系的

这种情形

这是均匀球体对m0产生的万有引力

那么当然我们可以把它推广了

也适用于ρ随半径分布的球体

对于这种球体呢也是这个结论

就是这样的球体对于一个质点产生的万有引力

可以等效成一个质点

这个质点质量是这个球体质量 它的位置在球心处

好这一小节就讲到这儿

谢谢大家