5.7 刚体的平面运动*在线视频

同学们好 今天呢我们讨论呢

5.7节刚体的平面运动

首先呢我举一个简单的例子

来给平面运动呢下一个定义

这儿呢是一个均匀的圆柱体

这个呢是它一个对称轴

现在呢它绕着这个对称轴做定轴的转动

角速度呢是ω

这儿呢有一个垂直于旋转轴的一个固定的平面z面

我们知道刚体上所有的点

都在平行于z面这样一个平面内呢做圆周运动

也就是说如果用一个平行于z面的z1面

来切割这个圆柱体的话

那么在这个z1面上刚体的各个点啊

一直都在这个平面内进行运动

我们把刚体上每一点

都在与固定平面平行的平面内运动呢

称为刚体的平面运动

那么刚体的平面运动呢还有一个特点

如果刚体内有一个直线啊

垂直于这个固定平面的话

那么这个直线上所有的点的运动情况啊

都是完全一样的

在日常生活里面呢

我们就经常见到这样一个刚体的平面运动

这儿举两个例子

比如说这儿呢是一个斜面

有一个圆柱体沿着这个斜面做直线的滚动

显然这个圆柱体呢所做的运动呢

显然是一个平面运动

那么这个运动平面呢是垂直于轴线

同时也垂直于这个斜面的这样一个平面

另外呢这是个齿轮的一个运动

它当然也是一个平面运动

这个运动平面呢是垂直于这个轴线的

正是由于刚才讨论的刚体平面运动的特点

如果呀要完全确定

一个平面运动刚体的位置的话

我只要确定啊

任意一个运动平面内刚体各点的位置就可以了

而确定一个平面内刚体各点的位置的话

只要确定这个平面内

任意一条线段的位置就可以了

因为刚体啊任意两点之间的连线啊

距离和相对位置关系是不变的

那么我们下面讨论如何确定一个运动平面内

刚体AB这个线段的位置呢

好 我们呢可以建立一个惯性系xOyz

让xOy这个平面呢就在运动的这个平面内

当然z轴呢是垂直于这个平面的

那么刚体上两点AB这个线段

我们如何确定这个AB线段的位置呢

我们啊可以先确定A点的位置

显然我们用两个坐标xA yA就可以了

然后呢 来确定B点的位置

如何确定B点的位置呢

我们只要确定啊

AB这个连线啊与x轴的夹角

也就是水平的这个夹角φ角就可以了

这样呢通过三个独立的参数 xA yA φ

就可以把这个平面内AB这个线段的位置呢

唯一确定了

也就是根据呢我们刚才的讨论呢

把AB这个线段的位置确定了

就可以把整个做平面运动的刚体的位置

唯一确定了

所以呢平面运动刚体呢有三个自由度

在刚才讨论的情况

如果啊xA yA不变 只有φ变动

这就是我们以前讲的刚体的定轴的转动

如果呢φ不变 只是xA yA变动

这个呢就是一个刚体的平动

所以呢刚体的平面运动的话

就和我们普适的情况一样

可以分解为平动加转动

那么我们平动呢总要选择基点

我们通常情况下是选择质心作为平动的基点

这样呢如果选择质心作为平动的基点的话

刚体的平面运动就可以等价为

随质心的平动加上绕质心的定轴的转动

好 如果是这样的话

我们啊很容易把刚体平面运动的运动学呢

唯一确定了

建立两个参考系xOy和x′Cy′

xOy呢是一个惯性系

x′Cy′呢是一个质心系

C呢是这个刚才呢坐标系x′Cy′的原点

同时呢也是质心

那么现在呢xOy（和x'Cy')这(两）个平面呢

就在刚体的运动平面之内

现在呢我们来确定这个平面内

刚体上任意一点A点的位置的话

很显然A点在惯性系里面的位矢呢r

就可以用质心在惯性系里的位矢rc

加上A点在质心系里的位矢r′来表示

如果对这个方程啊对时间求导数的话

我们可以得到呢速度的关系

A点在惯性系里的速度呢等于

质心在惯性系里的速度vc

加上呢这一点在质心系里面的速度

那么这一点A点在质心系里的速度

我们刚才讲了

这一点绕着质心呢做定轴转动的

我们可以写成ω×r’

r′是在质心系里边A点相对于质心的位矢

再一次求导数的话

那当然就得到加速度之间的关系

那么我们日常讨论问题的时候

往往加上一个纯滚动的条件

那么什么是纯滚动呢 举一个例子

这是一个圆柱体 在地面上啊运动

那么在地面上啊建立一个惯性系xOy

那么这个圆柱体呢与地面的接触点是p点

那p点在这个地面参考系里的速度呢

我们可以根据刚才的讨论呢

可以写成质心的运动速度vc

加上p点相对于质心的速度v′

由于呢这一点相对于质心来讲的话

做一个定轴的转动

所以呢可以写成ω×rp

如果vp啊 这个p点啊

在地面这个参考系里的速度等于0的话

我们说那这个刚体呢做纯滚动

这个呢就是纯滚动的条件

好上面介绍了一下刚体平面运动的运动学

下面呢 我们介绍刚体平面运动的动力学

而动力学呢这儿讲很简单

因为刚才已经讲了

刚体的平面运动呢可以分解为

随质心的平动加上绕质心的一个定轴的转动

而平动部分呢

我们就可以用普适的质心运动定理

合外力等于mac

ac呢是质心的加速度

那么对于转动部分呢

我们可以在质心系里面运用定轴转动定律

在质心系里面对于转动轴的合外力矩

等于相对于通过质心的旋转轴的转动惯量

乘以呢角加速度

那么除了这两个条件之外呢

我们还可以加一些其它的条件

比如说纯滚动条件啦

比如说机械能守恒的条件啦

那么在用机械能守恒条件的时候

我们常常运用柯尼希定理

常常运用到柯尼希定理

柯尼希定理告诉我们是什么呢

刚体这个惯性系里边的动能啊

等于它在质心系里面的动能

加上质心相对于惯性系里边的动能

这个时候质心呢集中了刚体所有的质量

(1/2)mvc的平方

好 下面呢我们就用两个例子来说明

这个动力学的部分的知识

第一个例子

我们分析一个水平桌面上

做纯滚动线轴的运动

这是一个线轴 轴的半径呢是R1

绕上线以后的半径呢是R2

在地面上呢做纯滚动

当然有一个力呢作用在轴上

这个力的方向和大小呢都写在这儿了

那么我们来分析

根据我们刚才的讨论平动加转动

再加上呢纯滚动的条件

那么对于平动部分的话

我们分析一下呢这个系统的受力情况

它受到几个力呢

除了一个外力F之外它受到一个摩擦力

还受一个重力 还有一个支持力

我们只关心啊水平方向的平动情况

在水平方向呢 F力的分量水平分量

与摩擦力相减以后呢等于mac

m是整个刚体的质量 ac呢是质心的加速度

那么对于转动部分呢

我们在质心系里面用转动定律

那么分析所有的力啊

只有F和f对质心呢有一个力矩

那么这是左边部分 它等于呢Jcβ

Jc呢是相对于中心轴线的转动惯量

最后呢再加上纯滚动条件

也就是说接触点A在地面参考系里面的

合速度是等于0

合速度等于0呢 我们推下来呢

就是A点随着质心呢平动加速度ac

在数值上等于它在质心系里面

绕着质心的切向加速度R2β

把这三个式子呢综合起来以后呢

我们就得到ac的表达式

我们仔细分析一下ac的表达式

这面里呢R1和R2呢都是线轴的几何参数

这的Jc呢是绕着中心轴线的转动惯量

m呢是整个轴线的质量

θ是这个力啊外加力F呢与水平方向的夹角

我们可以看到这个式子啊

水平方向的加速度啊

它的正负号完全取决于括号里面的量

如果这个括号里面的是大于0的话

ac呢是大于0的

表示呢这个线轴啊是向右运动的

如果这一项小于0呢是向左运动的

如果临界情况 它等于0的时候

它就呆在那儿不动了

我们仔细分析一下这个临界条件啊

R2cosθ-R1=0这个条件是什么条件呢

我们可以这样这是一个接触点A

沿接触点A呢做这个轴的切线

这个切线的交点呢是T

这个时候大家可以证明几何关系很容易证明

这个时候这个切线与水平方向的夹角θ角

就是满足这个临界条件

满足这个临界条件

那么这个式子意味着什么呢

当外力啊小于这个临界角的时候

这个质心啊是向右运动的

当外力啊与水平方向的夹角

大于这个临界角的时候呢是向左运动的

等于临界角的时候呢是不变的

下面呢

我们可以通过一个实验来说明这个结论

刚才的结论告诉我们

我现在用手来拉这个线啊

这个柱体到底是向前运动还是向后运动

完全取决于这个线的角度

现在我来演示一下

好 当我这个角度与水平面的角度比较低的时候

这个圆柱啊是向着这个方向运动啊

现在呢我把这个角度提高

提高以后会发现什么样呢

大家都看到了

提高这个角度以后呢

这个圆柱呢是向我的左侧运动的

当然如果控制这个角度控制得合适

在一个合适的角度啊

这个圆柱呢是不运动的

刚才我们这个实验啊

正好证明了我们刚才这个结论

我们再举第二个例子

一个呢均匀的圆柱体从一个粗糙的斜面上

从静止无滑地下滚这样一个情况

和刚才的分析一样

我们首先分析一下它的受力情况

一个呢 它受一个重力

当然还有一个摩擦力当然还有一个支持力

我们呢建立一个参考系呢

就是一个地面参考系

坐标系呢沿着斜面向下呢为正方向

那么我们根据平动的条件

在这个方向上平动的条件mgsinθ-f=mac

同样这个ac是这个圆柱体的平动的加速度

质心平动的一个加速度

在质心系里面的转动定律呢

可以转换成Rf=Jcβ

这儿的Jc呢是绕中心轴线的转动惯量

最后呢加上纯滚动条件

和刚才的例题一样ac=Rβ

综合这个式子呢我们就得到

质心的平动加速度的表达式

在这个式子里面呢 θ就是这个斜面的倾角

这个Jc呢就是绕中心轴线的转动惯量

我们对这个式子呢进行简单讨论

如果这个刚体质量不变

而它运动的这个有效半径不变

当然斜面这个θ角不变的话

很显然从这个式子可以看出来

如果转动惯量越大的话

那么质心的加速度是越小的

同理 如果呀m不变

转动惯量不变 当然θ角不变

如果有效的运动半径越大的话

质心的加速度呢是越大的

下面呢我们可以通过两个演示实验

来说明这一点

一个实验是导轨的滚柱演示实验

另一个呢是导轨的滚球演示实验

好 下面我们用演示实验来说明

我们刚才的结论

这是两个圆柱体 你看啊外径呢是一样的

这个上面呢每个上面呢都有两个圆槽

槽的深度呢是一样的

这两个圆柱体呢质量也是一样的

所以呢这个圆柱体的转动惯量大

这个圆柱体的转动惯量小

大家记住红色标志的转动惯量大

这个黄色标志的转动惯量小

这儿呢是两个滑轨

这两个滑轨呢是完全一样的滑轨

我现在把这两个圆柱体放在这两个滑轨上

放在同一个高度同时落下来

大家看看

哪个圆柱体滚得快 哪个圆柱体呢滚得慢

很显然 这个转动惯量大的滚得慢

转动惯量小的呢滚得快

这个就验证了刚才课堂上讲的结论

现在呢我们换另外一个试验

这个实验这是两个小球

啊这是两个小球

两个完全一样的小球

现在呢分别放在两个滑轨上

但是注意了

这个时候两个滑轨啊宽度是不一样的

这个滑轨呢宽度宽 这个滑轨呢宽度窄

我现在呢让两个小球从同一高度同时落下来

同时滚下来无滑滚动

看看哪个滚得快 哪个滚得慢

好 显然放在这个窄轨上的球啊滚动得快

而放在宽轨上的球啊滚动得慢

在刚才的导轨滚柱演示实验里面

两个导轨的情况是完全一样的

但是这两个圆柱体呢 质量是相同的

运动的有效半径是相同的

其中呢 一个圆柱体呢 转动惯量大

所以它表现出来的加速度呢是小的

这个呢正好符合我们的结论

在第二个导轨滚球演示实验里面呢

这两个球呢是完全一样的

质量 转动惯量 θ角 都是完全一样的

但是呢一个导轨是窄的 一个导轨呢是宽的

对于窄轨来讲它的有效的运动半径是比较大的

所以呢它的加速度呢是比较大的

正好证明了我们刚才的那个结论

好 我们今天就讲到这儿 谢谢大家