9.6 温度的统计意义（一）在线视频

同学们好

那么上节课的推导中我们知道

理想气体 它的压强和分子的平均平动动能

是有这么一个简单的关系

这件事告诉我们

压强它是一个统计的物理量

当然它与一个分子的压强是没有意义的

那么这节课我们将看到温度

它的统计意义是什么

我们根据理想气体的状态方程

和这个压强的之间关系

我把压强约掉 我们就获得了

理想气体的分子的平均平动动能

它和温度的一个简单的关系

这个事情告诉我们什么呢

它告诉我们 温度也是一个统计的量

它代表大量分子的一个集体行为

那么我们谈一个分子的温度是没有任何意义的

第二 温度表征的是

分子的一个热运动剧烈程度的物理量

那么温度越高 分子的平均平动动能越大

它热运动剧烈程度就越大

那么按照这个式子我们知道

它一个很有意思的事情

我们发现 一个理想分子的平均平动动能

它只和温度有关

和其它的东西都没有关系

比如和分子种类没有关系

那么在热平衡的状态下

氦气和氧气

它的分子平均平动动能是完全一样的

只要是温度一样

尽管它们的分子量差别很大

同时 我们按照平均平动动能的定义

把它代进去之后 把这个二分之一约掉

把这个v方 它的平均值拿出来

我们就得到了 分子的速率的平方的平均值

它的一个关系

那么这个关系用起来并不方便

因为这里需要一个分子的质量

我们把分子质量通常换成摩尔质量更方便

这样上下同时乘以一个阿伏伽德罗常数

这里就变成了摩尔质量

这个地方我们注意到 玻耳兹曼常数和

乘以的这个有个关系

它等于 理想气体的普适常数

这样我们就把这个式子变成这么一个简单的形式

两边同时开根号

就得到了分子的方均根速率

它的这么一个简单的关系

那么根据这个关系 我们能

简单的推导一些有意思的结论

比如说 标准的状态下

分子的平均平动动能大概是多少呢

把这个T代成273K

那么结果是这么多 5.6乘以10的-21次方 焦耳

那我们看着好像是一个非常小的量

那么在微观我们更常用的一个单位是

电子伏的一个单位

一个电子伏特等于1.6乘以10的-19次方 焦耳

我们把它可以换算成 电子伏特

大概是3.5乘以10-2次方电子伏

那这是一个什么含义呢

我们反过来算的话

如果具有一个电子伏的平均平动动能

那么它对应的温度就是7700K

那么大致你可以认为是10000K的一个量级

那么简单地说就是 一个电子伏特对应10000K

那么比如说 一般金属的逸出功是多少呢

是几个电子伏

那么如果说我们要通过加热的办法

让电子从金属里面逃逸出来

那么需要多高的温度呢

你按这个一乘就需要几万K的温度

这个事实上是不可能的

因为几万开的温度下 金属早就被气化

那么比如说 我们平常说的分子原子

它的能级的量级 大概也是电子伏的量级

这个说明什么呢 通过我们加热的办法呢

通常是不能让分子激发的

好了 我们再估算一下氧气的方平根速率是多少

还是标况下273K

那么氧气的摩尔质量是32克

注意不是千克

所以要乘以10的-3变成国际单位制

结论是461米每秒

这是一个很快的速度

那么通常的一般的气体

它的方均根速率都在

100到1000米每秒 这么一个量级

那么标况下 分子数的密度是

大概是10的25次方每立方米

这个以前我们算过

那么我们来看一看

这个100到1000米每秒这个量级 它有什么含义

那我们知道地球的上面的物体

逃逸速度等于11.2个公里每秒

也就是什么意思 11000米每秒

那么这个速率是远远大于

我们通常的分子的这个方均根速率的

那么这个意味着什么呢

我们地球上的分子是很难逃脱地球的引力

逃到外太空去

因此地球上有非常浓厚的这种大气

而月球 它的引力不够大

它上面的分子气体分子就可以逃离出去

那么这节最后

我们要引入一个自由度的概念

然后在下一节 我们把它

进入到能量均分定理当中去

那么什么叫自由度

这个其实我们在力学里面已经讲过了

描述一个体系的位置所需要的

最小的坐标数就是自由度

比如说一个质点

那么它需要三个自由度

那么就是我们通常说的xyz三个坐标

那么一个自由运动的刚体 我们需要六个自由度

包括整个刚体的三个平动自由度

和三个转动自由度

而刚体是没有振动的 所以没有振动自由度

振动自由度为0

一个一般的质点系 比如说是由N个质点构成的

那么同样 我们可以这样去分析

整个质点系 它的质心有平动

那么这个平动有三个自由度

整个质点系可以有一个整体的转动

那么它同样有三个转动自由度

最后 剩下的自由度是多少呢

因为我们知道每个质点有三个自由度

N个质点 3N个自由度

这3N-6 我们都可以看成是振动自由度

如果这个体系存在一个约束

那么自由度就会降低一个

比如说 这样三个质点

它们之间通过这样一个

长度不变的轻质杆把它们连接起来

那么这个轻质杆的作用是什么呢

它是保持两个质点的距离不会发生变化

那么这就是一个约束

那么我们看到 这里有几个约束 三个约束

本来三个质点的总自由度是9

那么由于有这样三个杆的约束

三个约束 所以它的自由度就变成6

这6个自由度是什么呢

实际上是这样一连之后

这三个质点构成了一个刚体

它是不会发生形变的

它对应的刚体的三个平动自由度和转动自由度

再来看一个四个质点的这样的连接情况

四个质点我们知道是3*4=12 是12个自由度

同时也有四个约束

所以它只能剩下8个自由度

这8个自由度是什么东西呢

我们首先把它看成刚体

那么有6个自由度3个平动3个转动

还有两个自由度是什么啊

还有两个自由度是这样的

因为它不是真正的刚体

四边形它是不能保持形状的

所以这两个对角的点之间

可以来回的改变距离

这是其中的一个自由度

那么另外一个自由度是什么呢

我们知道这个东西它不见得非得在平面上

这四个点可以偏离平面

像书页一样这样来回的张合

这也是一个自由度

那么这其中另外两个自由度 就是这样的

那么任何理想气体的分子都是由原子组成的

因此我们可以看成是一个质点系

比如说单原子分子

那么主要是对应气体 氖啊 氦啊 氩啊等等

它们的自由度都是3

因为只有一个质点

对于双原子分子

比如说 氧气 氢气 一氧化碳等等

那么它们的特征是什么呢

我们也可以 先把它们看成刚体

那么刚体的平动有三个自由度

同时 我们大家看刚体的转动

那么双原子分子和普通的刚体不一样

因为它是一种线状的结构

它的转动可以这样转

也可以 这么转

但是不存在沿着轴向量的转动

这是没有意义的 因为它是一个一维的结构

所以它的转动自由度只有2 不是3

这个一定要注意

那么如果 没有振动的话

它的自由度就是5

把它严格看成刚体

如果存在振动

两个分子之间的距离 可以来回发生变化

这个时候还补充一个振动自由度

这样自由度就变成6

对于多原子分子 比如说

水分子 氨分子等等 就大量存在的

那么它们自由度就变得比较简单了

首先先把它看成刚体

有三个平动自由度

三个转动自由度

那么最后 剩下的自由度 就是振动自由度

比如说是三原子分子

那么振动自由度有几个呀

三原子分子一共9个

那么这个加起来是6

剩下就是三个振动自由度

那么如果是N个原子构成的分子

那么就是3N-6个自由度

都是振动自由度

那么 好 我们这节课先讲到这儿

给大家留一个小问题

那么刚才我们说过

这个月球的引力 它比地球小得多

实际上月球的逃逸速度是多少呢

大概是2.4公里每秒 也就是2400米每秒

这个数也是远远大于分子的方均根速率的

那么为什么月球上没有空气呢

这个问题大家回去要好好想一想

恩 好 那么同学们再见