11.15 克劳修斯熵公式*在线视频

同学好

这节我们讲克劳修斯熵公式

克劳修斯受这个卡诺的影响比较大

那么卡诺定理后来用热力学第二定律的证明

其实就是克劳修斯给出的

那么克劳修斯呢从这个卡诺定理里面呢

又发现了一个新的物理量

非常重要的物理量 就是熵

我们来看一看

假设现在有一个可逆循环

这是任意的一个可逆循环

我现在 用一系列的绝热线

把这个可逆循环给分割了

分割成一段一段的

那么在这个绝热线之间呢

我又用可逆的这个等温线替代这个实际过程

那么我们来看一看其中某一个

两个绝热线和两个等温线的话

这其实是一个微小的卡诺循环

那当然对于这个卡诺循环来说

它满足这个式子对吧 我前面讲过

那这里边这个热呢就是这个等温过程吸的热

这个温度就是这个等温线上的温度

这个下面的这个过程呢也是一样的

那现在这个等温线吸的热

和这个实际过程吸的热有什么联系呢

其实我们在这个做等温线的时候啊

我们就是这样做的

就是使得这个等温过程吸的热

刚好就等于这一段实际过程吸的热

能做到这一点么

其实很容易做到这一点

假设我们考察两个过程

一个呢是从这一点出发

通过等温过程来到这一点

另一个过程呢也是从同一个出发点

经过绝热过程再经过这一段实际过程

再经过这个绝热过程来到这个末态

所以初末态我们选择是同一个

那显然无论走哪个过程内能差是一样的

我们再来看一看

这个过程所做的功

那么等温过程做的功就是

这段线下边的这个面积

这个条上的面积对不对

就是这个条上的面积

而另一个过程

从这个绝热线再走这个实际过程

再走这个绝热线这个过程做的功呢

也是这个过程下面的这个面积

我们选择这个等温过程的时候啊

就使得它下面的这个面积

刚好等于另一个过程下面的这个面积

那么根据热力学第一定律

这两个初末态内能差是固定的

做功是一样的

那很显然这两个过程吸的热是一样的喽

可是第二个过程 这一段走的是绝热线

这一段也是绝热线 它不吸热

所以这也就是说你这个等温过程吸的热

就等于这个实际过程吸的热

另一方面呢

这两个绝热线呢其实是非常非常靠近的

所以你这个等温线也好 这个实际这个线段也好

其实是非常接近于点的这么一个线段

所以你说这一点的这个温度啊

其实就是同一个温度

所以你这个式子呢

虽然是对这个微小的可逆卡诺循环给出来的

但它实际上就等效于对实际过程

吸的热和当地的温度的比值合在一起等于0

因为它不是有两段么

那么如果我们把这个所有的这个小段

都加起来的话当然也是等于0啊

因为两两加起来等于0

总的和也是等于0

因为这个绝热线啊是非常非常靠近的

也就是说每个过程呢是非常非常小的

所以你这个求和呢

可以写成一个积分形式

也就是说沿着一个可逆循环过程

这个式子的积分呢是等于0的

前面我们讲过保守力

绕着一个闭合曲线的积分是等于0的

所以我们可以引入一个势能的概念

后面我们再讲电磁学的时候我们也会讲到

静电场绕着一个闭合路径的积分等于0

所以我们可以引入一个电势的概念

现在呢我们对于一个可逆循环过程

这个积分是等于0的

这个其实是在这个相空间里面

绕着一个闭合曲线的积分是等于0的

和这个类似

我们也可以引入一个新的物理量

这个物理量就是克劳修斯熵

克劳修斯最先发现的这么一个重要的物理量

那么具体的这个克劳修斯熵的这个定量表示呢

和前面这个势能的方法呢差不多

我们来看一下

假设有任意两点

我可以用c1和c2两个可逆过程连接起来

那么这个c1是从1到2的

c2是从2到1的

这不是变成了一个闭合曲线了么

那么沿着这个闭合曲线的积分当然是等于0了

现在呢我让其中某一个过程

比如说我让从这个2到1这个过程呢

因为他是可逆过程

我让它反向进行

反向进行的结果是积分当然是变号了

变号以后我挪到右边来

那么我们就得到了这么一个式子

也就是说你从1到2

这个式子的积分呢

你可以通过c1走也可以通过c2走

结果是一样的

也就是说你无论走哪个路径

只要你选择是可逆过程的话

这个积分值呢和具体的路径没有关系

那这一点呢我可以用来定义这个

和这个状态有关系的这个量

就是克劳修斯熵

这个熵差呢就是用这个积分来表示

这是沿着可逆过程的积分

由于这个积分沿着可逆过程的话

无论走哪个可逆过程

它跟路径没有关系

所以呢这个熵差值只和初末态位置有关系

那么在相图里面这个位置呢

就代表这个系统的状态

所以呢这个熵差只和这两个状态有关系

你两个状态固定了这个差值就固定了

所以我们说这是一个状态函数

那么对于一个微小的可逆过程呢

你这个式子又可以用这个式子来表示

那这里边这个dS是真正的微分

而这里面dQ呢是带杠的那个

跟过程有关系的这么一个小量

这一点要注意

你从这个式子里面呢

我们还可以得到一个很重要的结论

就是说假如你这个积分是沿着

绝热可逆过程进行的

那么绝热可逆过程吸热总是等于零

所以熵差总是等于0

所以沿着绝热可逆过程的熵值是不改变的

绝热可逆过程也可以说是等熵过程

下面我们对这个克劳修斯熵公式

做一个简短的说明

在前边我们引入过玻尔兹曼熵

那么它跟我们现在

这个克劳修斯熵有什么联系呢

玻尔兹曼熵公式呢是从微观统计的

这个层面给出的

而克劳修斯的这个熵呢是宏观热力学这个层面给出的

你可以从这个玻尔兹曼熵公式啊

通过推导 导出这个克劳修斯熵公式

玻尔兹曼熵公式可以用来计算平衡态的熵

也可以用来计算非平衡态的熵

而克劳修斯熵公式呢

只能用来计算平衡态的这个熵

对于非平衡态是不适用的

因为非平衡态你不可能用可逆过程连接的

克劳修斯熵公式呢只能通过可逆过程

来计算平衡态之间的熵的改变

假如这两个平衡态实际过程

不是通过这个可逆过程过渡的

它是通过非可逆过程过渡的

那么你计算这两个状态的熵差的时候呢

你就要设计一个可逆过程来计算它

这没有关系

因为克劳修斯熵的差和具体的这个过程呢

是没有关系的

它是状态函数

你状态确定了

这两个状态的熵差就已经确定了

你无非是找到一个可逆过程来计算它而已

你选择任何一个可逆过程计算它都是可以的

好 这一节内容我们就讲到这儿 谢谢