5.4 转动惯量的计算在线视频

同学们 今天呢我们开始讨论呢

5.4节转动惯量的计算

在上一节里面呢

我们已经给出了转动惯量的表达式

它等于钢体每一个质点的质量

乘以它到转轴距离的平方

然后呢对所有的质点呢进行求和

当然了对于一个连续体的话

我们可以用积分来代替这个求和

这儿呢一个原质量dm

它到转轴的距离呢是r⊥

那么我们计算对于这个转动轴的

转动惯量的时候呢

就等于dm乘以r⊥的平方对整个m呢进行积分

这儿再次强调一下呢

转动惯量呢是由质量对轴的分布决定的

与转动状态是没有关系的

为了便于大家计算呢

下面呢我介绍几种常见刚体的转量计算方法

并介绍两个定理

好 第一个刚体呢我们介绍一个细圆环

它的质量为m 它的半径呢为R

那么圆环的中心呢是C

那么这个轴呢是通过C

垂直这个圆环平面的这个z轴

那么对它的转动惯量等于多少呢

根据刚才的式子

我们这儿呢取一个原质量dm

它到转轴的距离呢是r⊥平方

它对整个圆环进行积分

这儿呢很简单不必要具体的算

为什么呢因为这儿的质量啊集中在圆环上

它到转轴的距离呢是相等的都等于半径

所以我们可以立刻写出来

细圆环对于通过质心垂直圆环平面的

这样一个转轴的转动惯量等于mR2

下面介绍一个呢均匀的圆盘

这是一个均匀的圆盘

质量呢为m 半径呢为R 它的中心是C

现在呢这个转动轴呢通过C点

垂直于这个圆盘的这样一个转动轴

我们求相对于Z轴的转动惯量

怎么求呢 我们可以利用刚才圆环的结果

把这个圆盘呢分成好多圆环

其中呢我这儿取了一个圆环

它的半径是r这个地方的

这个宽度呢是dr

那么这个圆环的质量假如是dm的话

根据我们刚才的式子的话 计算公式的话

dm乘以它到转动轴距离的平方

对整个圆环啊进行积分

这个dm等于多少呢

也就是这个圆环的质量等于呢

这个圆环的面积乘以呢单位面积上的质量

圆环的面积呢就是2πrdr

那么单位面积的质量呢就是

整个圆盘的质量除以整个圆盘的面积πR2

然后呢进行积分很容易得出的结果呢

是(1/2)mr2

这是均匀圆盘的

那么我再介绍一个均匀细杆的

这是一个均匀细杆它的长度呢是l质量呢为m

现在呢转动轴呢是通过端点A的

垂直于这个杆的这样的一个ZA轴的转动惯量

等于多少呢很简单就用我们刚才的方法

这儿呢取一个原质量dm

它到转动轴的距离呢是r 这个长度呢是dr

根据我们刚才的式子呢

r2dm对于整个细杆啊进行积分的话

就是它相对于ZA轴的转动惯量

dm等于什么呢 它是dr长度上的质量

我们把单位长度上的质量(m/l)dr代进去

然后对整个细杆进行积分

结果呢是(1/3)ml2

也就是说对ZA轴的转动惯量呢是(1/3)ml2

现在呢如果让转动轴呢换一个地方

C点呢是整个细杆的中心也是它的质心

如果我们要求通过C点

垂直于细杆的这个轴的转动惯量怎么求呢

我们可以用同样的方法 按照同样的方法

我们给它一个结果等于(1/12)ml2

这两个式子进行一下比较你就会发觉

这两个轴呢是互相平行的一对轴

其中呢这个轴是通过质心的

那么我们发觉呢通过质心的这个轴的

这个转动惯量是小的

等会呢还会提到这一点

好 下面呢介绍2个基本的定理

第一个定理也不叫定理吧就叫几个规律

第一个规律呢是显而易见的

对同一个轴的转动惯量呢具有叠加性

这个呢是从转动惯量的计算表达式里面

也可以看出来这个是求和的对吧

这个积分的所以有叠加性

这个就不详细的说明了

第二个定理呢就是所谓的平行轴定理

平行轴定理是这么回事

这是一个刚体它的质量m

C点呢是它的质心

这儿呢有一个轴是通过质心的

我们把它称为Zc轴

另外一个轴是Z轴是平行于Zc轴的

这两个轴之间的距离呢是d

现在呢这刚体相对于Zc的转动惯量呢是Jc

相对于Z轴的转动惯量呢是J

那么平行轴定理告诉我们呢

J=Jc+md2

等一会呢我给出证明来

从这个式子可以看出来啊

在一组平行轴里面通过质心的这个轴的

转动惯量是最小的

因为md2是不可能小于0的

实际上呢这个结论呢刚才已经给出来了

刚才已经给出来了

通过细杆的这一对平行轴

一个呢是通过细杆的质心的

另外一个呢是不通过质心的

我们刚才计算出来结果呢

通过质心的呢是(1/12)ml2

不通过质心的呢是(1/3)ml2

大家检验一下是符合平行轴定理的

下面呢我们对这个平行轴定理呢

进行一个简单的证明

建立两个坐标系 xc yc zc 和x y z

xc yc zc的坐标原点呢

我们就设在刚体的质心

那么xc yc zc和x y z啊这两个坐标系呢

zc(和Z)就是我们刚才要求的一对平行轴

那么yc和Y轴是互相平行的

那么xc和X呢是互相重合的

从这个设置里很容易看出来呢

两个平行轴之间的距离呢d

也就是C点到这个坐标原点A之间的距离是d

现在我们要证明平行轴定理

现在我们来求第二个刚体

相当于z轴的转动惯量是多少

好 根据定义

这个刚体里面呢第i个质点

乘以它到转动轴距离的平方

对所有的质点呢进行求和

那么根据我们刚才的坐标系的约定

我们把x y z里面的坐标啊

换成xc yc zc里面的坐标

就写在这儿了

因为呢yc轴和y轴是互相平行的

所以呢yi呢和yic呢是相等的

又由于xc坐标呢和X坐标呢是互相重合的

它们之间呢两个坐标原点之间的距离呢是d

所以呢xi呢就等于xic-d

我们把这个式子呢进行展开

我们就得到了4项 1 2 3 4 这4项

我们来看看首先看看第一项和第二项

第一项和第二项呢

你看我们可以把mi合并起来最后得到了

对i质点求和 mi乘以yic的平方加xic的平方

当然很容易看出来xic2+yic2等于什么呢

就等于第i个质点mi到zc轴的这个距离平方

这么求出来正好等于相对于Zc的转动惯量

我们呢第三项保留 放在这儿

我们看看第四项

第四项呢一下子好像还看不出来

但是呢如果我们在xc yc zc这个坐标系里面

来求刚体的质心坐标的话

那么这个质心坐标xc就等于总质量

分母是总质量 分子呢是mixic

这个呢就等于在

xc yc zc这个坐标系里面质心的坐标

我们知道质心呢正好在坐标原点

显然是等于0的

所以呢这项呢就等于0的

所以呢整个计算结果呢J=Jc+md2

这样就证明了平行轴定理

有了平行轴定理呢

有的时候是方便我们计算的

这儿举一个例子比如说这是一个球

它的半径呢是R 球心呢在这个地方

我们已经知道书上已经给出了这个式子

通过球心的这样一个直径的转动惯量呢

是(2/5)mR2

如果呢现在啊我有另外一个轴

比如说z轴放在这儿

我现在要求大家

求这个球啊相对于Z轴的转动惯量怎么求呢

这个还不是那么容易的

不是那么容易的

但是呢我们利用平行轴定理的话

就很容易给出这个结果来

因为我们可以画一个平行于Z轴的这样一个直径

那么相对于直径的转动惯量呢

已经给出来了(2/5)mR2

那么用平行轴定理

(2/5)mR2+m它们之间距离d2

就相当于对Z轴的转动惯量了 这很容易

好我们介绍第二个定理所谓的正交轴定理

正交轴定理呢有个前提条件

是针对于薄板刚体的

比如说这儿有个薄板刚体很薄很薄

它的厚度呢可以忽略不计

现在呢我们呢建立了一个直角坐标系Oxyz

我们使得呢xy平面呢就在平板里面

当然z轴呢是垂直于平板的

它们那个坐标原点呢是O点

那么现在呢我们要求这个平板刚体啊

相对于z轴的这个转动惯量等于多少

这儿呢有个质量质量源mi

它的坐标呢是xi yi zi

那么根据呢求转动惯量的计算公式呢

mi乘以ri平方 ri是什么呢

是这个质点到Z 轴的距离

那么mi乘以ri平方呢对所有的质点求和的话

就相当于z轴的转动惯量呢

我们把ri平方呢用这个坐标来表示出来

就等于呢简单的两项ri2=xi2+yi2

这两个式子现在还看不出来到底什么意义

那么我们先看一下这个做一下铺垫

我们先求这样一个薄板刚体呢

相当于x轴的转动惯量等于多少

那么根据我们刚才的那个式子呢

相对X轴的转动惯量呢

相当于mi乘以它到X轴的距离的平方

也就是zi2+yi2 对所有的质点呢进行求和

那么展开这个两项以后

由于是薄板刚体

我们特地强调是薄板刚体

就意味着这个Zi是趋近于0的

极端情况它等于0的时候

Jx呢就等于后面这一项 就等于后面这一项

同理我们可以用来来计算呢

这个薄板刚体相对于Y轴的转动惯量

同理我们可以用这样的同样的方法

质量mi乘以它到y轴距离的平方

然后呢对所有的质点呢进行求和

那么对y轴距离的平方呢

就等于zi2+xi2

同理我们用到了薄板刚体的这个条件

就意味着zi呢趋近于0的

这样呢Jy就等于后面这一项

mixi2对所有的i求和

如果这样看来的话

我们再来看Jz 这两项就正好等于

分别等于对y轴的转动惯量和对x轴的转动惯量

所以呢Jz=Jx+Jy

这个呢就是所谓的正交轴定理

正交轴定理呢有时候呢对于我们计算

薄板刚体的转动惯量的时候有所帮助

比如说这举个例子

这是一个薄的圆盘

薄的圆盘 质量为m 当然薄呢厚度忽略不计了

那么我们知道对这样的薄圆盘的话

计算它通过这个圆盘的中心

垂直这个圆盘的轴的转动惯量

前面我们已经给出来了

是(1/2)mR2

现在我如果要求大家来求一个

相对于直径的这样一个转动惯量的话

计算的话 不是一下子能写出来的

但是呢如果我利用这个正交轴定理的话

Jz=Jx+Jy

另外呢Jx和Jy都是通过直径的显然是等价的

是相等的

那么Jz呢就等于2倍的Jx

一下子就可以把Jx呢就等于(1/4)mR2，就很容易得出来了。

就很容易计算出来了

好 今天的课呢就讲到这儿