9.9 三种速率在线视频

同学们好

上节课呢我们引入了麦克斯韦速率分布律

并且呢我们说了

在这个分布律上有三个特殊的速率

这节课呢我们就给大家来介绍

这三个特殊速率

首先呢第一个绿线这个

它对应的什么呢

对应了这个速率分布的极大值点

什么含义啊

就是单位速率间隔概率最大的这个点

它叫什么 对应的叫做最概然速率

那么这个值是多少呢

因为对应的是极大值

显然就是这个速率分布函数

它的导数为0的地方

我们把它求导

求导呢是对谁求导是对速率v求导

前面这些东西常数其实是用不着的

只看后面这两项

它的导数是2倍的v

然后呢后面这个指数呢不动

这上面就不动了

然后对指数函数求导

那么就是什么啊这是负的m/kT

v^2呢会出现一个2v和这2约掉了

前面这个v^2呢还不动三次方

导数为0

那么通过这个式子呢

我们立刻知道v2等于什么啊

啊这后面当然还有一个指数啊

这个消掉了 就直接导出了这个v^2=2kT/m

这样一个式子

那我把它代进去呢就是v等于2kT除以m开根号

这就是最简单的速率

那么我们把这个分子质量换成摩尔质量

就把它变成一个这么一个简单的式子

注意到它和我们之前求过的

分子的方均根速率比

那个是多少啊那个是3而这个是2

所以它比方均根速率要小

那么最概然速率啊

它是一个速率分布的曲线的一个典型特征

我们可以通过最概然速率呢

来了解分布的很多事情

比如说同一种分子在不同温度下的两个分布

那谁是高温呢谁是低温呢

根据最概然速率等于什么呢

等于根号下2kT/m

那么显然它是和T是成正比的

T越大它就越大

所以我们看到这个T2的温度

它要对应的最概然速率就越大

所以它们应该比T1温度要高

那么如果是同等温度不同等分子上分布呢

我们可以看到谁的摩尔质量大呢

也是一样我们刚才看到了

最概然速率呢啊是和摩尔质量成反比的

倒着的

那么这个分子量越大它的最概然速率就越小

所以这个的分子量要比它要大μ2大于μ1

另外一个有意义的速率呢就是平均速率

平均速率什么意思啊

我们算假设算某一个区间内从v1到v2

这么一个区间里面

分子平均速率应该怎么就算呢

应该是v对分布函数相乘做积分

然后下面呢也要对这个区间做积分

那假设是全空间的

那么算出来的结果就是分子的平均速率

全空间当然是0到无穷级的

这个积分啊可以把这大N约掉

剩下的就是关于一个

麦克斯韦速率分布律乘以v的这么一个积分

这个积分等于这个样子

它怎么去算呢

我们引入这么一个数学当中的公式

这个就不做证明了

那么它做什么呢

它说这样一个积分恒等于上面是伽马函数

伽马函数的含义是什么啊

如果是伽马整数就等于N减1的阶乘

如果是半整数呢 严格的说呢叫半奇数

等于什么啊

等于(n/2-1)・(n/2-3)......

这样不断的乘

一直乘到什么啊 乘到1/2

最后要乘一根号派π

这是伽马的这样一个定律

那下面呢这个很简单

那么对于这样的一个积分

我们看到它特征是什么啊

这里边的N是3所以这地方多少啊

N是3那么这个里面就是3+1=4

所以是Γ2 Γ2呢就是1的阶乘等于1

我把它代进去之后

前面这些常数包括着a常数在里面呢

就得到这么一个结果

8/π乘以kT在除以m再开根号

这就是分子的平均速率

那么它和前面我们已经知道的两种速率

一个是最概然速率比它比那个大还是小呢

8/π是比2要大的

所以它比最概然速率要大

那么比方均根速率呢

那个是3 8/π呢它比3要小

因为8是小于3π的

因此它是两种速率之间的这样一个速率

同样也可以把它换成摩尔质量

那么上面也变成气体的普适常数

你可以把这个近似算出来是1.6倍的开根号它

最后呢就是我们刚才说的方均根速率

方均根速率啊我们前面已经利用

压强公式和能量关系呢把它推出来了

那么这里我们运用麦克斯韦速率分布律呢

重新把它推一便

这个推法呢和平均速率一样

只不过这是速率的平方的平均值

然后代进去呢做这个积分

这个积分啊

简单的计算按照前面的公式

我们可以得出来呢

和之前我们利用压强公式算出来的结果

是完全一样

3RT/μ 再开根号

完全一样

这件事告诉我们什么呢

第一我们算平均值的时候一定要注意区间

这个区间呢是同时包括分子和分母

那么如果分母上不是从0到无穷

这个积分不是1

也就是0到无穷的时候积分是1

那么这个一定要把分母的这个式子写到这里面

如果不写的话呢这个计算结果是错的

通过这个我们也看到对于任何一个

关于速率有关系的一个物理量

比如叫做g（v） 那么它的平均值呢

都可以按照这样一个式子来算

这样当然指全空间的这样一个平均值

三个速率呢对应每个系统来说都是存在的

不管是不是理想气体

而理想气体呢我们才有前边这样一个公式

而且它们之间满足它比它大

它比它的这样一个关系

对于一般情况下

对不对 这个留给大家去思考

那么还是不是满足这样一个关系

比如说是不是最概然速率是最小的

是不是方均根速率最大的

好了那么我们说啊利用前面这个结果啊

我们还可以做这样一个近似的公式

假设我们只统计落在某一个小区间

Δv这么一个区间里面

它的分子数有多少

那么注意到这个区间也是比较小的

虽然不是微分但也比较小

那么因为它比较小

我们就可以把这个积分符号去掉

是利用微分来代替积分

首先呢我引入这么一个约化速率

它等于速率v除以最概然速率

那我们把它叫u

这样啊我指数上边的因子就变成了一个u方

另外呢这个微分值Δv我也可以用u来代替

那当然就提出来一个最概然速率就行了

这样整个这个麦克斯韦速率分布函数

就简化成了这个样子

在和温度啊质量就没有什么关系了非常简单

利用这个式子我们就可以做一个简单的计算

比如说氧气它在300k的时候

你可以算出速率是多少

比如说我们要求速率

在790m/s到800m/s的这样一个区间里边的

分子数占总分子数的百分比

那么就利用刚才这个式子就行了

首先我们知道v呢是790

这个Δv是多少呢是大概是10m/s的这么一个量

温度是300k

我们先求最概然速率然后再求约化速率

最概然速率呢是395m/s

这个简单代一下 就可以算出来

这样呢约化速率呢790除以395就是2

而Δu等于多少呢把它一除这么一个量

这样我利用这个式子就可以算出这个百分比了

这个百分比代进去简单的算一下

得到这么一个值0.42％

那么有的同学说我这个计算可能不够准

为什么啊我取的这个v是区间的左端790

那么如果取区间中间是不是更好呢

你可以再去算一下比如说取795m/s

那么结果是0.4％

其实结果是差不多的

可见我这个计算基本上是合理的

那么我们根据前面这个推导就可以看到

最开始的时候我们求的压强公式是这样的

这是利用压强的这个统计力学的分析算出来的

那么我们又根据统计的办法

直接用麦克斯韦的速率分布律

求这个方均根速率是这样的一个东西

把两个合起来就自动出现了

理想气体的状态方程

因此我们说我们从微观出发

可以直接获得理想气体的状态方程

这样我们就终于得到了理想气体

在宏观的这个表达式

满足理想气体状态方程的理想气体模式

和微观上理想气体模式它们建立的对应关系

这个是严格对应的

换句话说我们可以从微观出发

不考虑宏观的东西

直接得到理想气体的状态方程

好 那么这节课呢我们就到这 谢谢