6.2 旋转矢量图和复数表示在线视频

下面我们讨论一个重要的概念 相位

在振动函数中 cos的角度ωt+φ

我们称为是这个简谐振动的相位

相位有相貌和位形之意

它代表简谐振动 在一个周期内的运动状态

包括位置和速度

好 相位代表简谐振动

在一个周期内的运动状态

对一个一维弹性振子来说

相位就代表t时刻 物体的位移x的大小和方向

比如 横坐标是相位ωt+φ

其实变量是t 纵坐标是位移

曲线代表振动曲线

它是按照振动函数画出的一个曲线

比如 相位取0 π/2 π 3π/2 和 2π的时候

我们看一下它是如何描述这个物体的运动状态的

比如相位等于0 就是这一点

它代表物体静止于x轴的正方向最远点

物体静止于这个地方

一 它是静止的 它的位置是最远点

所以相位等于0就代表了物体的这个运动状态

好 如果相位等于π/2

代表物体 刚好经过平衡位置 沿着反向运动

物体刚好经过平衡位置向反方向运动

位相等于π 代表物体静止于反方向的最远点

等于3π/2 物体经平衡位置沿着正向运动

等于2π 返回到正方向的最远点

所以你看 在横轴上

每一点都代表物体的一个运动状态

所以我们说相位代表简谐振动的运动状态

当然 我们把A固定

假如这个振动的A 振幅是固定的有这个性质

好 初相是什么东西

初相决定于 时间零点的选择

通常我们把初相φ 取在-π到π之间

下面看一个动画

这是三个振动曲线

其中 这个代表 初相等于0的情况

0时刻 处于x轴正方向的最远点

蓝色的 代表初相等于π/2

0时刻 物体刚好经过平衡点 向反方向运动

红色代表初相大于0的情况

我们再看时间周期性

简谐振动的时间周期性 用下面这些量来描述

首先是周期 2π/ω

ω就是圆频率 或者角频率

它代表振动往复一次所经时间

还有一个量是角频率它等于2π/T

ω代表单位时间内相位的变化

如果时间经过了T经过周期这么长

它的相位变化是2π

那这两个相除就是商 我们叫做角频率

频率是周期的倒数

也是单位时间振动往复的次数

我们用T ω v来描述简谐运动的时间周期性

好 再看简谐振动的振动的速度和加速度

作为弹簧振子的物体

它振动的速度 加速度

但是这是速度

我们知道位置和时间的关系是振动函数

那你做关于时间的一阶导数就可以了

得到的结果呢是Aωcos这个东西

所以可以看到

这个速度的相位要比位移的相位超前π/2

再看加速度

关于位置做二阶导数 是这个结果

振动的加速度a 它的大小与位移x成正比

方向相反

因为ω方是正的 所以方向相反

这是简谐振动的速度和加速度

以及它和位移的关系

好 我们看一下如何用初始条件

来确定 简谐振动的振幅和初相

初始条件就是时间等于0的时候

物体的位移x0和速度v0

我们把t=0代入位移函数和速度函数

就得到这两个式子

通过这两个式子可以解出

振幅A等于xo2+v02/ω2开方

初相等于-arctan(v0/ωx0)

但是 我们通常计算初相的时候

用下面的式子来算

你看 时间等于0的时候

位移和初相的关系是这个关系

那么我们就写成cosφ=x0/A

可是你用这个式子得到的φ

它的象限不确定

φ所在的象限也可以用sinφ的符号 或者

用下面我们将要介绍的旋转矢量图来判断

建议大家呢要经常用旋转矢量图来判断

我们来看一下旋转矢量图

和简谐振动的复数表示

这个就是旋转矢量图

其中A矢量 就是振幅矢量

它代表 一长度代表振幅

方向 代表与Ox轴的夹角

角频率ω在这里就是振幅矢量A

沿着逆时针方向匀速转动的角速度

我们知道 角频率和角速度的量纲是一样的

好 在某一时刻比如t时刻

振幅矢量A与Ox轴夹角是ωt+φ

这个恰好就是t时刻的相位

其中φ就是初相

t=0时刻旋转矢量和Ox轴的夹角

你看 通过旋转矢量图

我们可以把振幅矢量大小和方向表示出来

把ω 角频率表示出来

把相位表示出来

通过旋转矢量图

这三个特征量都可以明确地表示出来

而且非常形象

在旋转矢量图中 振幅矢量跟Ox轴的投影

就是 我们刚才介绍的简谐振动的振动函数

就是位移和时间的关系

下面我们看两个动画

我们举个例子

假如我们的初始条件是x0=A/2

就是 位移恰好等于振幅的1/2

速度是大于0的

问初相φ是多少 取值为多少

好 我们用cosφ=x0/A来计算 cosφ=1/2

那φ呢可能取两个值±π/3

至于φ取正的还是负的

我们用旋转矢量图来判断

好 我们看这个旋转矢量图

首先 这个旋转矢量有可能处在一、四象限

它在x轴上的投影恰好等于A/2

但是 在第一象限还是在第四象限哪

我们看一下

给的条件是v0大于0

就是在0时刻 初始时刻

这个质点或者说这个物体

沿着x轴正方向运动

这要求我们的旋转矢量应该在第四象限

因为旋转矢量是沿着逆时针方向匀速转动的

所以我们就得到结果 φ=-π/3

用旋转矢量图 从初始条件来判断

初相所在的象限 这种方法的优点是直观

我建议同学们经常用这种方法来讨论

好 我们介绍两个概念 同相与反相

假设有两个同频率的简谐振动

x1=A1cos(ωt+φ1)

x2=A2cos(ωt+φ2)

注意 振幅不一样 初相位也可能不一样

但是频率一样 并且都在同一个方向 x方向振动

任意时刻这两个振动的相位差

我们算一下 就等于初相差

Δφ就等于φ2-φ1

好了 这两个简谐振动在步调上的关系

我们可以用它们的相位差来反映

x1和x2 它的步调上的关系

我们可以用φ2-φ1来描述

我们看一下

如果Δφ=2kπ, k=0,±1, ±2,……

我们叫做两个振动同相

同相是什么概念呢

在旋转矢量图上 A1 A2 这两个振幅矢量

始终是同向的

所以x1 x2振动的步调完全一致

A1 A2 的长度可能不一样

但是如果同相的话

这两个长度不一样的振幅矢量

的方向永远是一致的

所以它振动的步调是完全一致的

第二 反相

Δφ=(2k+1)π

2k+1是一个奇数

在这种情况下 x1和x2的振动步调完全相反

也就是A1A2这两个振幅矢量始终是反向的

注意 这个反向 A1 A2 的反向是方向的向

我们这个是相位的相

当Δφ取其它值的时候

我们把这个情况叫做不同相

好 我们举个例子

假如这两个同频率简谐振动

相位差是3π/2

从这个振幅矢量图看是这个样子

A1代表x1第一个振动

A2代表x2第二个振动

A2和x轴的夹角要比A1的夹角大3π/2

在这种情况下呢

一般我们不说x2比x1的相位 超前3π/2

而是说呢 x2比x1的相位落后π/2

我们用小的角度来描述

这是一种习惯

第三我们看一下简谐振动的复数表示

这就是简谐振动的复数表示

我们说它可以描述一个简谐振动

原因是 在这个公式中

给出了简谐振动的三个特征量 A ω φ

如果把它写成我们介绍的简谐振动的位移

和时间的关系

那就等于这个复数表示的实部

就是Acos(ωt+φ)

我们为了区别呢

复数表示我们用x波浪来描述

好了 其实在这个表达中啊

这个指数可以取正的也可以取负号

我们把它取成负号

是为了照顾后面量子力学中的习惯

无所谓 这取正负都可以

用旋转矢量图和复数形式来描述一个简谐振动

为我们分析振动问题带来方便

以后我们就会看到

好 这一节就讲到这 谢谢