6.8 振动方向互相垂直的同频率简谐振动合成在线视频

上面我们讨论的是

同方向的 同频率

或者不同频率的 两个简谐振动的合成

下面讨论 两个互相垂直的简谐振动的合成

先讨论 互相垂直的同频率的

两个简谐振动的合成

好 我们还假定 假定一个质点啊

它同时参与了两个互相垂直的

同频率的简谐振动

这两个简谐振动

注意 振幅可以不一样

初相位可以不一样

但是频率一样

那 一个振动方向是x轴方向 一个是y方向

x轴和y轴是垂直的

这两个振动是互相垂直的

振幅不一样

相位 初相位可能也不一样

但是频率是一样的

在这两个方程中我把时间消掉

得到这么一个方程

其中 φ2-φ1是这两个振动的初相差

这个方程是椭圆方程

我们得到椭圆方程

就说明啊 这两个振动合成之后

这个质点的轨迹是椭圆

我们看一下 初相差φ2-φ1取不同值的时候

这个椭圆的形式是什么样

椭圆那 有正椭圆 有斜椭圆 还可以退化成圆

或者是退化成一条线

我们看一下

我们先看 φ2-φ1=0的情况

就是两个分振动同相的情况

这个时候 这个椭圆方程啊 就变成这个形式

你看这个是0

这两个 φ2-φ1=0

这个是1 这个变成0

我们就退化成这种形式 这是它的方程

这个方程很显然 这是x轴这是y轴

那这个方程表明

x和y 这两个坐标的比是A1比A2

我算一下 t时刻这个质点 离开原点的位移

很容易算

位移是x2加y2开方

我代进去 是这么一个东西

前面这个振幅是根号A1方加A2方

这个振幅 不随时间变

后面恰好是个简谐振动的因子

频率 就是这两个分振动的频率

好了 那告诉我们 如果这两个分振动是同相的话

你的合振动是在一、三象限

过原点的简谐振动

频率与分振动的频率相同

这是很重要的结论

这时候椭圆方程退化成直线

再看反相

如果两分振动反相 就是相差等于π

好 椭圆方程退化到这种程度

注意这儿有负号

那就说明这个时候 如果反相

这个时候在二、四象限

过原点 这么一个简谐振动

频率跟分振动是一样的

这就是合振动

我们讨论了φ2-φ1=0和π的两种情况

都是简谐振动

一个是一、三象限 一个是二、四象限

频率等于原来的分振动的频率

再看两种情况

一个是呢 φ2 就是y比x超前π/2

是这个初相差等于π/2

这是椭圆方程

这个时候呢 椭圆方程变成这个形式

这时候质点的轨迹 是以坐标轴为主轴的

正椭圆或者圆

如果A1=A2的话 就是圆

这个时候呢 已经不再是简谐振动了

这个是那个质点的运动轨迹

一个质点同时参与

这两个互相垂直的振动的话

形成的轨迹 是正椭圆或者圆

已经不是简谐振动了

合振动的轨迹 对于这种情况 y比x超前π/2

是右旋的正椭圆 这么旋转

我们看一下为什么这么旋转

当然 周期等于分振动的周期

好了 我看 如果在x轴上

这个振动 时间等于0的时候 往这么动

这是x振动

由于y比x超前π/2

所以在这个时刻呢 y轴的振动是往下的

y方向的振动 比x方向的振动超前π/2

那你看 假如这个质点啊

同时参与这两个振动的话

一个往下 一个往这边

那就相当于这个质点呢 沿着这个方向运动

就应该是右旋的正椭圆

你如果A1=A2的时候呢

这个质点的轨迹就是一个右旋的圆

下面看一个动画

两个垂直的同频率的简谐振动的合成

如果y比x落后π/2

就是φ2-φ1等于-π/2

这个时候呢 椭圆方程是这个样子

仍然是一个正椭圆 不过这个时候是左旋的

这个质点是做左旋的正椭圆运动

周期等于分振动的周期

当然 A1=A2的时候是个左旋的圆

当这个初相差取其它值的时候

既不是0 也不是π 也不是±π/2的时候

合运动的轨迹一般是斜椭圆

不是正椭圆了

这件事情有个应用

就是假如啊 我与上面的合成相反

我分解 那说明一个圆运动或者椭圆运动

可以分解成 两个互相垂直的 同频率的简谐振动

我们方才是两个互相垂直的 同频率的简谐振动

如何合成一个圆运动或者椭圆运动

反过来 一个圆运动或者椭圆运动

我们可以分解成两个

互相垂直的 同频率的简谐振动

这件事儿 在分析光的偏振 要经常用到

我们在光学那一章 要讨论这个问题

好 这一节就讲到这儿 谢谢