3.8 两体问题*在线视频

同学好 这一节我们讲两体问题

这是单星号内容

我们经常可以遇到两个物体相互作用的体系

比如说地球和月球体系

比如说氢原子里面质子和电子

这类问题我们统称为两体问题

现在考虑两个物体构成的一个体系

先建立坐标系

那么这两个物体之间的相互作用力呢

当然是作用力和反作用力

我们假设这一对作用力呢是沿着这个连线方向

那么在这个惯性系里面呢

我们可以分别把这两个质点的运动方程写出来

就是这个

这两个方程你把它加起来那么左边式子就抵消了

右边式子加起来就等于0

这样两个物体构成体系的质心的加速度

我们知道可以用这个式子来计算

现在这个是等于0啦

所以质心加速度就是等于0

所以我们可以这样说

这两个物体体系的质心系是个惯性系

为了方便我们引入相对坐标

相应于这个相对坐标的一次导数就是相对速度

两次导数就是相对加速度

那么利用这个式子和这个式子

我们可以把这个两个物体的加速度

分别用相对加速度表示出来

把这两个加速度带到运动方程

我们得到这样一个式子

这里面呢出来一个μ

这个μ啊 我们把它叫做折合质量

那它当然跟原来质点的质量m1和m2的关系

是一个倒数关系

所以对两体体系

运动方程实际上是它们之间的相互作用力

等于折合质量乘上它们之间的相对加速度

这个本来是两个物体的问题

现在我们化成了一个方程

你可以这样看这个方程

相当于只有一个物体

这个物体受了f这样的力

而这个物体的质量呢是这个折合质量

这个物体的加速度呢

其实就是这两个物体之间的相对加速度

当然两体问题化为单体问题的话

问题不是变得简单了吗

下面我可以给大家举一个例子

考虑一个单摆

摆长是l 小摆的质量呢是m

那么这个呢是竖直线是它的平衡位置

那么小摆 在摆动比较小的时候啊

它基本上是直线运动

那么这个小摆距离平衡位置的这个位移我们可以记为x

那这个时候小摆受到的力啊

我们以前做过它是等于mgx/l

这里面这个负号就表示这个摆所受到的力呢

总是指向平衡位置

那么它等于ma

这里面这个加速度啊我们用x两点来表示

把这个式子整理一下

我们得到了这样一个形式

这里面这个ω呢其实就是这个摆的振动的圆频率

在这里面推导过程中我们很容易发现

此时这个圆频率平方它等于g/l

那么根据这个圆频率

我们可以推导出这个单摆的振动周期

就是等于这个式子

当然这个是大家在中学里面非常熟悉的式子

下面啊 我们把这个问题稍微弄复杂一点

假设这个小摆啊 是挂在一个小车上

小车质量是M

这个小车呢可以在这个水平方向上自由移动

就相当于和地面的摩擦力我们可以忽略

那这个时候呢

摆摆动的时候啊这个小车也在运动

如果这个时候你要问

摆的振动周期是什么的话

当然这个比刚才的问题要稍微复杂一些

那是因为对这个系统在水平方向上我们不受力

我们可以把这个系统啊当成两体系统

就是摆和小车构成的两体系统

那么这个系统呢在这个方向上

它的质心加速度当然是等于0了

我们刚前面推导过

那么假设我们一开始让这个质心处于静止状态的话

那么摆摆动的过程当中

整个系统的这个质心位置一直会保持静止不动

我们先看一下演示实验

我们看到由于这个质心它是不动的

所以摆摆过来的时候呢小车就过去了

摆回去的时候小车就回来

对于这个问题 我们计算摆的振动周期的话

我们利用两体这个处理方法它会变得比较简单

因为对两体运动系统我们有一个运动方程

和我们现在这个单摆的运动方程相比较的话

力当然它是不改变的

这里面这个加速度呢 x两点这个加速度啊

实际上是摆相对于悬挂点的这个相对加速度

而这个悬挂点相对与小车是固定的

所以说这个加速度呢

也就是摆相对于小车的相对加速度

所以和这个两体问题的运动方程相比较

我们只需要把这里面的这个质量啊

用折合质量μ代替的话这个方程就成立了

那这里面μ我们前面给过

这个折合质量倒数是等于两个质量倒数的和 对吧

我们把这个折合质量代入这里面

整理一下 这个形式还是不变的

只是这个圆频率平方前面多了一个因子

那么根据这个新的圆频率

我们再把这个摆的周期计算出来的话呢

我们会发现它这里面多了这么一项

我们看到把摆挂到小车上的时候啊

这个摆的振动周期啊变小了

也就是说这个摆呢振动的变快了

在这个式子里面假如让这个M也就是小车的质量

趋于无限大的话

这个摆的这种周期又回到了原来

这个摆悬挂在固定点时候的那个情况

好这个问题我们就讲到这儿 谢谢