4.11 质心系中的功能原理*在线视频

大家好

这一小节我们学习质心系中的功能原理

我们知道质心参考系是一个平动参考系

如果质心做匀速运动的话

质心参考系就是惯性系

如果质心有加速度

质心参考系就是一个平动非惯性系

那么我们在质心参考系中

运用功能原理的时候

需要不需要考虑惯性力的影响呢

这个答案是否定的

也就是说

在质心参考系当中运用功能原理的时候

如果质心参考系是一个非惯性系

那么我们也不需要考虑惯性力做的功

也就是说质心系当中的功能原理仍然成立的

和惯性系当中的形式一样

和质心参考系是否是惯性系无关

数学表达式是这样的

就是带撇的量都是质心参考系当中的量

也就是在质心参考系当中

这个系统所受的外力做的功加上

非保守内力所做的功等于系统机械能增量

下面我们证明它

我们用两种方法证明

第一种方法是这样的

假设质心参考系是惯性系

那么功能原理就必然成立

如果质心参考系是非惯性系

那么它就是平动非惯性系

我们就必须要讨论平移惯性力做的功

这个写出来应该是有一项 多一项啊

就是质点系受到的外力做的元功

加上非保守内力所做的元功

然后再加上惯性力做的元功

等于系统机械能的微分

我们采用元功的形式来证明

下面我就要来证明

这个惯性力做的元功呢它等于0

我们假设质心力加速度是ac

那么在质心参考系当中

质点系的每一个质点都会受到一个惯性力的作用

平移惯性力的作用

那么这个平移惯性力是多少呢

大家能够说出来么

应该是等于这个质点的质量乘以负的ac

这是某个质点受的惯性力

那么某个质点所受的惯性力所做的元功是多少呢

就要再点乘这个质点相对于质心参考系的元位移

那个元位移应该就是dri'

然后我们把它写出来的话表达式是这样

这个求和号里面这个括号部分呢

就代表第i这个质点所受到的平移惯性力

这个dri'就代表

第i这个质点相对于质心参考系的元位移

所以他俩点乘的结果呢

就是第i这个质点所受到惯性力

相对于质心参考系所做的元功

然后我们把所有的质点的惯性力

所做的元功累计起来

就得到了这个整个平移惯性力做的元功

那我们看这个负的ac是统一的量

可以提到这个求和号外

然后我们把第i这个质点

相对于质心参考系的位矢的微分呢

写成它相对于质心参考系的速度

乘以时间的微分

这样整理一下就得到这个关系式

这样我们这个公式当中就出现了一个求和号

就是括号里的这求和号

大家看括号里的这一项是什么呢

恰恰就是质点系相对于质心参考系的

这个总动量

我们知道质心参考系特点就是零动量参考系

也就是说这个求和呢它是等于0的

这样我们就证明了

这个惯性力做的元功呢它就为0

这样也就证明了在质心参考系当中呢

功能原理依然是成立的

它的形式和惯性系当中的形式相同

下面我们再用另一种方法给大家证明

这个方法证明的思路是这样的

我们就是想办法把惯性系当中外力做的元功

和质心系当中外力做的元功联系起来

然后把非保守内力做的元功

和质心系当中非保守力做的元功联系起来

就是把两个参考系当中相同的量想办法联系起来

然后利用惯性系当中功能原理成立

来证明质心系当中功能原理也是成立的

S是一个惯性系

这是质点系

mi是其中的一个质点

它相对于惯性系原点的位矢是ri

它受到的合外力是Fi

现在这个C呢代表质点系的质心

我们假设它的速度是vc

S'就是质心参考系

大家注意现在有个问题就是

质心参考系原点的速度是多少

就是这个o'的速度是多少

这个要注意质心参考系原点o'的速度

应该等于质心的速度

我们把它记做vo' 就是vo'等于vc

这个原因是这样的

在质心参考系当中去看质点系的质心

大家去想一想这个质心是什么样是不动的

也就是说质点系的质心相对于

质心参考系而言呢是不动的

那么相对于质心参考系的位矢呢

就是一个常矢量

所以这个O'点和C这点呢

相对于这个惯性系S的速度是相同的

这样的话我们也知道一个细节是什么呢

就是质心相对于惯性系的位矢

这个图里没画出来啊

质心相对于惯性系原点O的位矢

和质心参考系的原点O’

相对于惯性系原点O的位矢

他们之间相差一个常矢量

质心参考系原点相对于惯性系原点O的位矢呢

我们记做rO′

第i个质点相对于质心参考系原点的位矢

我们记做ri’

下面我们就来把每一项的联系写出来

我们先看在惯性系中外力做的元功

按照这个定义呢 我们可以写出来

就是把每一个质点受到的合外力

去点乘每一个质点相对于惯性系的元位移

然后累计求和

这就是质点系受到的外力在惯性系中做的元功

下面就是ri这个位矢的微分等于什么

我们看这个图 ri这个位矢呢就等于

rO’这个位矢呢加上ri’这个位矢

所以ri这个微分呢就等于

rO′这个微分加上ri’的微分

那么我们看第一项 前头这一项

前头这一项是什么含义呢

恰恰就是第i个质点它所受的合力

点乘第i个质点相对于质心参考系的元位移

那么就是第i这个质点

第i个质点所受的合外力做的元功

然后累计求和呢得到的就是

质点系受到的外力相对于质心参考系做的元功

后面这一项 大家看后面这一项

这个rO′的微分是什么

刚才我们说了rO′这个位矢呢

和质心系相对于惯性系原点O的位矢呢

差一个常矢量 差一个O'c这个常矢量

所以这个rO'这个位矢的微分呢

它就等于质心相对于这个惯性系原点的

位矢的微分

那么我们把刚才说的整理一下啊

这个第一项呢对应的就是在质心参考系当中

质点系外力做的元功

第二项就变成这样的一个表达式

就是rO′的微分就等于rc 的微分

那么看这个表达式

大家看它的意义是什么

这个意义就是

把质点系受到的外力全部平移到一块

然后求一个合矢量

就是求一个合力 这个合力呢

点乘质心相对于惯性系的元位移

那这个含义就是说

质点系受的外力对质心做的元功

它应该等于什么呢

应该等于质心动能的微分

好 我们写出来就是

得到了我们第一个需要的关系啊

就是质点系受到的外力

在惯性系当中做的元功等于

在质心系当中做的元功加上质心动能的微分

下面就是非保守内力做的元功

我们知道内力永远是成对儿出现的

所以这个非保守内力做的元功呢

是和参考系无关

就是在惯性系当中非保守内力做的元功

等于质心系当中非保守内力做的元功

因为内力总是成对出现

一对力做的功和参考系无关

所以这个式子成立

那么我们又得到了一个关系

下面我们利用科尼希定理

还能得到一个动能的关系

科尼希定理就是

在惯性系当中质点系总动能的微分

等于在质心参考系当中质点系动能的微分

也就是说内动能的微分

加上质心动能的微分

这是科尼希定理

下面就是势能的关系

势能和参考系无关

所以在惯性系当中势能的微分

等于在质心系当中势能的微分

现在我们把所需要的所有量的关系都得到了

我们把(1)式和(2)式相加

这样的话 得到的一个等式的左边就会出现

在惯性系当中 外力做的元功

加上非保守内力做的元功

等式的右边会出现在质心系当中

外力做的元功加上非保守内力做的元功

然后再加上这个质心动能的微分

我们再把(3)式和(4)式加到一块呢

就会得到一个等式

等式的左边呢

就是惯性系当中质点系的机械能的微分

右面呢就是质心参考系当中

质点系的机械能的微分加上质心动能的微分

我们把刚才说的整理一下

就是(1)+(2)这两个式子相加得到这个表达式

左边是惯性系当中的结果

右边是质心系当中的结果

然后多一个质心动能的微分

(3)式和(4)式相加呢

这个左边呢就是惯性系当中机械能的微分

右边呢是质心参考系当中机械能的微分

然后多加一个质心动能的微分

而我们知道惯性系当中功能原理是成立的

也就是说这个(5)式的左边

是和(6)式的左边是相同的 相等

那么(5)式的右边就和(6)式的右边相等

划等号之后呢

就可以把质心动能的微分给消掉

这样我们就得到这样一个表达式

就是在质心参考系当中外力做的元功

加上非保守内力做的元功

等于这个质点系机械能的微分

这个就是我们要得到的关系式

这样我们就证明了

在质心参考系当中功能原理仍然是成立的

它的形式和惯性系当中的形式是相同的

跟这个质心参考系当中的功能原理相呼应

就有一个质心系当中的机械能守恒定律

对于这个不受外力作用的保守系统呢

它在质心系当中呢 它的机械能是守恒的

也就是说在质心系当中

如果这个系统是一个孤立的保守系统

那么它的机械能守恒

那么我们总结出来是这样

就是不管质心系是否为惯性系

功能原理和机械能守恒定律

都和惯性系当中的形式相同 它都是成立的

不需要考虑这个质心系是否为惯性系

不需要考虑惯性力做的功

我们这一小节就讲到这 谢谢大家