7.12 简正模式和简正频率在线视频

下面讲简正模式和简正频率

系统的每一种可能的稳定的振动方式

我们叫简正模式

相应的频率叫简正频率

好 我们举例

一个两端固定的弦的简正模式是什么样子

也就是我们讨论一下

形成横驻波的条件是什么

这是两端固定的长度为L的弦

这是一种模式

就是在两个固定点之间应该是半波长

这个时候形成一个稳定形式

我们把它叫做基频 n=1

这时候波长等于2L

弦长L是1/2波长

这是第二种振动模式

N=2 二次谐频

这时候波长等于L

还有三次谐频 等等 等等

只有在这种情况下 才能形成稳定的驻波

下面看一个视频 简正模式

我们总结一下

当一个两端固定的弦 长度为L的时候

形成的简正模式的波长

等于2L/n n取1 2 3 等等

好 对于简正模式的频率 我们叫简正频率

由这个式子 我们得到频率

其中的u 代表弦上横波的波速

T代表初始的张力

ρl代表单位长度的质量

边界情况不同 简正模式也不同

我们刚才讲的是

两端固定情况下弦上的简正模式

我们再看一端固定 一端开放的自由的这个弦

或者一个钢板尺 它的简正模式是多少

这是第一个简正模式基频

因为这边是自由开放的

所以形成稳定的驻波

这一定是波腹

而这点是固定的 一定是波节

所以 在这种情况下

这边是波节 这边是波腹

还有一种情况 三次谐频

这个时候呢 这边是波腹 这边仍然是波节

但是多了个半波长

所以 对于这种边界条件

它的简正模式的波长应该是4L/n

n等于奇数 1 3 5 7 9 ……

再看一种模式

两端都开放 中间固定的一种模式

长度也是L

这时候 这是基频

这是n=3 三次谐频

它的波长 应该等于2L/n n=1 3 5 7 9……

这告诉我们 边界条件不同

形成的简正模式不同 简正频率也不同

下面看一个视频 简正模式2

如果将弦线弯曲成张紧的圆环

同样 只有在圆环周长等于1/2波长的整数倍时

才能形成驻波

当n=3 4 5 时的驻波形状

好 这是笛子

这是一端封闭的情况

这是这端开放的情况

你会看到 封闭的这端是波节

而开放的地方是波腹

任何实际的振动

都可以看成是若干简正模式的叠加

其中 各个简正模式振幅的大小和相位

由初始扰动的性质决定

其实就是傅里叶展开

对于一个可以形成驻波的系统

当周期性驱动力的频率

等于系统的某一简正频率的时候

就会发生使该频率驻波的振幅

变的最大的现象

这种现象 我们也把它叫做共振

例如 利用共振方法可以测量空气中的声速

这是装了水的这个杯子

这是两端开口的玻璃管

把玻璃管插进这个水中

大家注意 水中的空气柱的高度

就是水面和上端的高度

这是某一频率振动的音叉

水槽插入两端开口的玻璃管

音叉置于管的上端

频率比如是ν

管中的空气柱的长度l 这是长度l

通过水面的高低调节

水面由管顶端向下移的时候

水面往下移的时候l增加

它l等于a的时候

声强第一次达到最大

就是这种情况

这个时候应该是种共振

一端是波腹 一端是波节

这个长度应该是λ/4

λ是波长

当水面由管顶端下降到l=d+a和l=2d+a的时候

声强第二次 第三次达到最大

就这种情况

上面是波腹 下面是波节

这三种情况 是空气柱发生共振 形成驻波的

三种简正模式

好 那声强出现极大就表示音叉频率

与管内空气柱固有频率相同而发生共振

我们做下面的计算

就知道a=λ/4

那λ就求出来了

第二和第三种模式 对应的是这两个式子

a+d=3λ/4 3λ/4

a+2d=5λ/4

好 我们求出下面的结果

代入数据 频率 d

空气中的声速就测出来了

就是这个值330m/s

基本符合实验

好 这一节我们就讲到这儿