9.8 麦克斯韦速率分布律在线视频

同学们好

这节课我们给大家介绍一种重要的分布律

也就是麦克斯韦速率分布律

那么什么叫分布律呢

我们以伽耳顿板这个例子为例来讲一讲

粒子按照坐标是怎么分布的

这样的一个规律

那么这是伽耳顿板

我取这个格子的方向叫x方向

那么一个格子的宽度就是Δx

我现在只观察x到x+Δx

这个特殊的格子它的情况

那么在这个间隔里面呢

我们假设落在这个格子里的分子数

也就是粒子数为ΔN_x

那么这个N_x占总的分子数N的百分比多少呢

我把它算出来

就是这么大

它的含义呢我们可以叫做大量分子

落在这个特殊的格子里的

分子数占总数的百分比

也可以叫什么啊

可以叫做一个分子掉在这个格子里的概率

这是一个东西

那么当N趋向与无限大的时候呢

它确确实实为这个概率

它和百分比是完全一致的

那好了 我们现在把这个Δx再往小压缩

压缩到多大呢 一个微元

对应的是dx这么一个格子

那么里面呢分子数就是dN_x

占的百分比也是一样的dN_x/N

这个时候啊我们把这个概率

当它趋向与无限大的时候这个概率呢

就叫做什么啊

就叫做粒子数按照坐标的统计分布律

那么我们看到啊

统计分布它的基本办法就是首先

做这样一个dx这样的一个间隔

然后来算这个分子数的百分比

落在这个格子里面的

当N趋向于无限大的时候它就对应

一个分子掉在这个格子里的概率了

这个间隔呢可以是空间间隔

也可以是速率间隔

比如说dv这么一个间隔

它的含义是从速率v到v+dv

这个间隔里面的分子

占到总分子的百分比

同样呢也可以是能量间隔

它对应的就是能量从ε到ε+dε

这么一个间隔里面的百分比

那我们看到这个百分比呢

它是一个统计规律有偶然性

那么一个分子掉在这个格子里

那么有可能掉在这个格子里

有可能不掉在这个格子里

但如果是大量的它就趋向一个固定的值

它是一个统计的必然性

当然这个必然性必然要伴随一些涨落

并不是严格等于这么大

那么分子的分布函数是什么东西呢

我们看到这个间隔是这样的

那么当N趋向无穷大这个百分比对应概率

这个概率跟什么有关系呢

显然是和速率有关

同时也和这个间隔有关

那我们看到一个不太喜欢的事情

因为什么呀

这个间隔是我们人为取的

这和人为的因素是有关系的

我们希望把这个因素去掉

使得这个概率只和速率v有关

而和其它人为的没有关系

那么这个时候呢我们很简单就把这个

dv除到这个概率里面

因为概率本来就是个小量

它可以用dv来除

除完之后就得到一个新的关系式

这个关系是显然只和速率有关

和间隔就没有关系了

那么它叫什么呢

它就叫分布函数

确切的说叫按照速率的一个分布函数

因为我们取得是单位速率间隔的这样一个分布

它的含义是什么含义呢

它叫做分子在速率v附近

单位速率间隔的分子占总分子的百分比

那么也可以叫做一个分子

落在v附近的每个单位速度间隔的概率

这都是一样的

那么如果把这个dv再乘过去

它的含义是什么呀

它的含义就是分子落在dv这个格子里的概率

或者是分子落在这个格子里的百分比

这都是一样的

注意这差了一个单位速率间隔

这是没有的 这间隔就是dv这么一个间隔

好了那么如果是N个分子呢

把它一乘 它对应的就是整个落在dv

这个格子里所有的分子

也就是落在dv这个间隔的分子数

它的性质是什么性质啊

这个东西

我们把它从0到无穷做个积分

这个积分的含义是什么呢

按照这个速率分布的定义

你把它化成这个样子

那我就看到了

这个积分实际上对所有的速率的分子求和

然后再除以总的分子数

这个当然应该等于多少 等于1

这个就是速率分布函数最基本的归一化的性质

那么这个东西的几何含义是啥啊

我们学过微积分都知道

积分是表示这个曲线下面的面积

而这个积分值为1

就告诉我们什么呢

整个曲线从0到无穷

这个范围里面曲线下面的这个面积是多少呢

是1

它是这么一个含义

分布函数具有一个普遍的意义

它可以是速率的分布函数

也可以是速度的分布函数 什么意思啊

是单位的速度间隔

这个间隔是指速度v到v+dv

那么它不是一个一维的间隔

而是你把这个速度看成x y z三个分量

构成的一个三维空间

那么它是一个什么间隔呢

是一个立方体的小格子

分别对应x方向y方向z方向都有间隔

那么它也可以是什么呢

单位速度间隔同时也是单位空间间隔

那么这个时候不只是速度这有一个小立方体

那么在空间也有一个小立方体

这个r呢

这个dr的含义也是

xyz在三维空间里的一个立方体的小格子

那么当然可以是能量的分布函数

那么代表的单位能量的那么一个间隔

好了 那么有了前面的那些准备

我们就可以引入麦克斯韦速率分布函数

它对应的体系一定是理想气体

并且是平衡状态

而且要在自由空间

自由空间的意思是没有外场

比如说重力场电场这都不允许

那么这个时候呢

麦克斯韦就给了这么一个分布函数

长得样子好像非常复杂

但其实呢关键就在于两项

一项是这个分布函数和v方是成正比的

另外一项呢 这有一个指数因子

前面这大块的系数啊它其实代表的什么含义

把这个整个积分从0积到无穷还有等于1

所以实际上它就是一个归一化的因子

那么因为我们看到f(v)随着v方是增加的

v方越大它越来越大

而这个指数衰减是随着v增加越来越小

两个同时竞争就意味着

我们这个分布函数存在一个极大值

我们看一看氧气在273.15K

也就是0摄氏度的时候它的速率分布

的样子是什么样子

那么这个单位是百100m/s

我们看到一百米每秒之下

百分比只有1.40％

一百到两百之间是8.1

哪儿最大呢

大概是三百到四百和四百到五百

也就是三百到五百这个范围里面分子数是最多的

其它情况你看到越往后越小

确实是存在这么一个分布律

那么这个就是麦克斯韦速率分布的

一个大概的曲线的样子

这三个点呢分别对应分别对应

三个非常特殊的速率我们后面会讲到

那么这个它东西其实具有很普遍的意义

我们可以通过演示实验来看一看

同学们好我们通过这个装置

来给大家演示一下麦克斯韦速率分布律

那么这个装置呢

就是有很多小的钢球

等一会让这个钢球从上面掉下来

那么它掉下来之后会碰到上面的钉子

随机落在底下的斜坡上

然后由于重力的作用它会从这冲出来

因为不同的钢球拥有的水平的速度不一样

所以它会掉在不同的格子里面

那么因为这个钢球从上面掉下来的时候

它虽然是随机掉落的

但是我们通过伽耳顿板已经知道

这个掉的时候它其实有一个分布

因此它的水平速度就有一个分布

那么这个分布掉出来之后呢

我也会看到和麦克斯韦速率分布律是比较一致的

那么下面我们来看这个演示实验

我们看一下刚才这个钢球掉落

我们看钢球掉落的过程它确实是随机的

我们看这个效果确实是这个样子

它这个样子是大致符合

麦克斯韦速率分布律的

我这个孔是可以来回调的

等一会我把这个孔向右推

向右推的过程实际上就是什么啊

它掉落的这个峰主要跑到这来了

那么它拥有的势能和这个相比就要小一点

因此这个峰的位置也会向左稍微移动一点

我们来看看是不是这样

好了这个结果出来了

这个峰确实是比刚才那个位置往左移了很多

那么通过刚才演示实验我们发现

这个麦克斯韦速率分布率确实是有

非常普遍的一个意义的

而且它也可以通过后面的麦克斯韦的

速度分布律把它严格的推导出来

这个我们后面会证实这个事情

麦克斯韦速率分布律是

可以通过实验来检验的

比如说20年的时候Stern的实验

34年的时候咱么华人物理学家葛正权的实验

还有55年的试验等等等等

那么我们以咱们华人物理学家葛正权的实验

来说明一下怎么通过实验来验证

麦克斯韦速率分布律的

它的实验装置是这样的

这里面整个装置是放在处于真空的状态

这个有一个铋的蒸汽源

它可以看成理想气体

然后呢这里有三个小的狭缝

S1 S2和S3

整个这边是一个滚筒

这个滚筒在高速旋转

它的旋转速度可以达到每秒钟500转

在这个滚筒内部衬那么一层玻璃

它是为了将来测量结果方便

那么它这个实验思想是这样的

我们知道这个铋蒸气源里的气体分子呢

由于这个狭缝的影响通过两个狭缝来校准

跑出来的速度方向也就是这个方向的

那么当这个圆筒的狭缝

刚好张转到这个地方的时候

这个分子才能进到这个桶里面

其它时候进不来

好了 假设这个缝刚好到这

这个分子进来了

分子的速度为v

那么速率也就是速度大小也是为v

那么它呢会从这个地方一直跑

跑到这个地方沉淀

但它并不会沉淀到P这个地方

因为整个桶还在继续旋转

它会沉淀在P′这个地方

好了 那么这个飞行的时间呢

我们可以简单的算一下

等于桶的直径除以它的速率

而P点这个到P′的弧长是多少呢

等于滚筒旋转的角速度乘以时间

时间刚才已经算过了

我们往里一代

就得到了这个弧长跟分子速率的一个关系

那么反过来写速率和弧长的关系

换句话说你只要知道这个弧长的位置

就知道这个速率大小是多少

这样我们就得到了一个弧长和速率

一对一这样的一个对应关系

我们让整个滚筒旋转十几个小时

然后我通过测微光度计测量

那个玻璃板上的各处分子沉积的厚度

那个厚度就相当于什么呀

就相当于对应的那个点的速率的分子数

那么根据这个对应关系

沉积的厚度是分子数

而S呢对应速率

所以最后我们就得到了

分子数随着速率的这个分布关系

那么实验结果表明啊

它是和麦克斯韦速率分布律符合的非常好的

好 这节课就到这 谢谢