7.4 简谐波的能量(1)在线视频

我们讨论简谐波的能量

假如这个简谐波 是这种形式

沿着x轴方向向右传播

什么叫简谐波的能量呢

对机械波来说 波动引起的介质的能量

包括动能和势能 称为波的能量

它是介质的能量 波动只是个形式

它的能量蕴含在介质中

先讨论动能

x那个地方的质元的振动速度

我们知道 就是它的位移关于时间的导数

我写出偏导数的形式 因为y还包括x坐标

那显然是这个形式

就是对波函数关于t做微商得到这个形式

我假设介质的质量密度为ρ

我用ρ代表质量密度

单位体积的介质中包含的质量

好 那体积为dV的这个质元它振动的动能

以这个速度振动的动能 显然是二分之一ρdVv方

ρdV代表质量 v方

然后我把速度的形式代进去 就是这个样子

sin平方这种形式 前面是二分之一ρω方A方

这是动能

好 我要计算这个质元的势能

为了计算势能 我要给出介质的应变和波速

因为这个动能啊和这个介质形变有关

好 我们先介绍剪切应变和横波的波速

我假定有一个矩形的介质

这是剪切力 受力的这个面 面积是S

θ角是在剪切力作用下 剪切成为的角度

相当于是一种应变

对于剪切应变 我定义一个模量

所谓的剪切模量 单位面积受的力

注意这个面积是这个方向 力是这个方向

这叫应力 θ角叫应变

应力比上应变 是这种介质的切变模量

我们不加证明的给出

在固体中 由剪切应变传播的横波的波速

是根号G/ρ ρ是固体的密度

注意 这个G代表介质的弹性

G越大越不容易剪切

ρ代表介质的惯性

所以波速跟介质的弹性和惯性有关

好 我们看一下一个张紧的弦上横波的波速

它的形式是T/ρl开方

T是对这个弦初始的张力

ρl是这个弦的线密度

就是单位长度的质量

好 我们再看一种应变

所谓的拉伸应变和纵波的波速

纵波使这个介质拉伸

原来长度是l 在拉伸力的作用下变成l+Δl

这种形变叫拉伸应变

杨氏模量是应力比上应变

应力是单位面积 注意这是受力的面积

单位面积的受力

l和Δl的比 叫做应变 杨氏模量

固体中纵波的波速 就是由这个应变

形成这个波的波速 是杨氏模量比上ρ开方

我们再看一种形变

对于气体和液体 它的变化是体积的变化

我们叫体变

注意 虚线代表原来气体或液体的体积

注意 Δp代表压强差

假如外面的压强比里面的压强大

这样呢 就被压缩成V+ΔV

显然ΔV是负的

原来的体积减去一个体积

这种形变 我们叫体变

好 我们引入一个模量 叫体积模量 Δp比ΔV比V

Δp相当于应力 压强差 压它的那个力量

V和ΔV的比就代表应变

好了 气体和液体中只有纵波

这个纵波的波速 是体积模量比上质量密度开方

好 我们给出了三种形变

它的应变 以及这三种形变中 相应波的波速

我们看到 波速只和介质有关

它和介质的弹性和介质的惯性有关

下面我们就可以推导质元的势能

我们以简谐横波为例 来证明下面这件事儿

在简谐波的传播过程中

无论质元处于什么振动位置

它的动能和势能都相等 也就是dEk=dEp

这是这个质元的动能 就是振动的动能

这是质元形变产生的势能

不管质元振动到什么位置 这两个量都相等

我们证明这件事儿

好 我们以横波为例

横波使质元产生切应变

这是原来没有横波的情况 原来这个杆的状态

这是有了切应力之后杆的状态

我们把这个质元的形变放大

放大成这个样子

注意 这个时候的切应力呢

分别是这个方向和这个方向

这是个面积 f比上面积S代表切应力

应变是这个角度 这个是被剪切了

这个长度叫Δx 显然这个θ=Δy/Δx

注意这个y呢 就是原来那个中间位置

我看一下

当在f这个力的作用下 形变从0变到Δy

看看这个力做了多少功

这个功就贮存在这个质元里面 变成它的势能

我们做一个计算

在这种形变下 力做了多少功呢

你得这么算 力乘上力的位移做积分

从0积到Δy 做一个积分

这个力做的功 就是这个质元贮存的势能

好了 我们知道 那个剪切模量是这么定义的

所以这个力可以表示成 剪切模量

受力面积 就是这个侧面积 再乘上应变θ

那 其中的Δy和Δx是这一关系

那就把dy写成Δx乘上dθ的形式

这个积分就可以表达成这个样子

把力写成这个样子 GSθ的形式

然后把dy呢写成Δxdθ

这个Δx是个常数 它代表这个宽度

这个是变化的 这个积分很容易做

这个积分的结果 就是二分之一Gθ方ΔV

体积ΔV 就是Δx这一段乘上S 乘上面积

写成这个样子

我就把这个质元的势能 写成跟θ有关的

这么个样子

好 我下面做一下计算

我们刚才看到 θ就是Δy/Δx

我们看 θ就是Δy/Δx

所以 我把θ平方写成(Δy/Δx)平方的形式

我什么也没干

但是这样呢 我就可以通过对波函数

就是位移的函数 对位置x做微商

我有下面这个式子

实际上呢 我就是把切变模量

用它的定义写出来

好了 我们知道y呢和x关系是这个关系

就是那个横波的波函数

那我做一下微商

我认为差分Δy比上差分Δx 就是这个微商

我算出结果是这个样子

代进去之后呢我们就得到

质元 它的势能是这种形式

你看呢这个形式

跟这个质元具有的动能是完全一样的

其中这个k呢按照这个定义是ω比u

所以我们就证明了

不管这个质元 处于什么振动位置

它具有的动能 等于它具有的势能

就是动能和势能时刻是相等的

我们用一个特殊情况来看

动能势能相等这件事

这代表一个波的振动曲线

我们取两点

一点呢 是这个位置的质元的形状

显然有形变

另一个呢 是在最高点

质元运动到最高点 振动得最大

B点代表质元达到距离平衡位置最远的点

我们看看A和B这两个质元

它的动能和势能的关系

A质元经过平衡位置的时候

动能和势能同时达到最大值

首先势能是最大的

因为形变是最大的

同时 经过平衡位置的时候 振动的速度是最大的

所以它的动能和势能都达到了最大值

在这一点它的动能等于势能

再看B B的位置呢质元达到最大位移

这时候动能势能同时变为0

B附近的质元达到最大位置 当然它就静止了

同时它的势能是0 因为它没有形变

所以从这个特殊的例子我们可以看到

不管质元振动到什么位置

它的动能和势能是相等的