1.4 加速度在线视频

同学好 这一节我们讲加速度

在给定坐标系里边

质点的运动轨迹也是确定了

假设t时刻这个粒子是在P1这个位置

那么这个时候它的速度的方向当然是沿着曲线的切线方向

我们用v(t）这个矢量来表示

过了Δt时间 这个质点移动到P2这个位置

那么速度是曲线的这点的切线方向

我们用v (t+Δt)这个矢量来表示

那么Δt时间里边

速度的改变 我们怎么计算

为了方便我们把这两个矢量平移到这个位置

端点对齐

这个时候t+Δt时刻的速度和t时刻速度的改变

实际上就是这个矢量 我们用Δv来表示

那么我们现在呢就可以定义一个平均加速度

那么平均加速度就是定义为

这个速度的改变和Δt时间的比值

当Δt趋于0的时候

那实际上P2这个点就非常靠近P1

这个时候我们就可以定义一个瞬时加速度的概念

瞬时加速度就是

当Δt趋于0的时候这个平均加速度

那么数学上呢

我们知道这个其实就是速度对时间的导数

因为我们前面讲过

速度实际上是矢径对时间的一次导数

所以加速度呢

你也可以是矢径对时间的两次导数

在直角坐标系

因为加速度是速度的一次时间导数

或者矢径的两次时间导数

而在直角坐标系里

i j k这三个代表坐标轴方向的矢量是固定不变的

所以你这些导数实际上只是对于

坐标分量或者速度分量进行

那么在x轴这个方向上加速度的这个分量

就是速度在x轴方向分量的一次导数

或者是坐标x的两次时间导数

y和z呢是同样的道理

这样我们可以把加速度写成这三个分量的叠加

那这个结果你会发现

和原来速度这个分量叠加类似

这样我们看出来加速度和速度一样也有叠加原理

其实这个结果是因为他们都是矢量的原因

其它矢量

比如说力也有这样的叠加原理

就是叠加原理是矢量的共性

好 下面呢我们给一个例题

假如说一个质点运动轨迹是用这两个式子表示

当然 如果我们把这个t消掉的话

我们就得到了这么一个式子

这个式子当然是大家熟悉的抛物线

把它画出来就是这个抛物线

因为对这个问题来说

z方向的运动我们是不考虑的

所以我们假设质点永远在这个xy平面内运动

我们把这个平面

你可以方便去做z=0的平面

那这个问题呢就是

求x在-3的时候这个质点运动速度 速率和加速度

我们简单分析一下

假如这个质点的运动轨迹我们清楚了

我们通过求导数

很容易把速度和加速度计算出来

那么对这个问题来说

矢径呢实际上是由x和y两个分量

而xy这两个分量对时间的依赖关系的是确定的

所以速度和加速度是很容易计算的

另外x=-3你带入了这个式子

你会发现实际上就对应t=3

质点在这个抛物线上运动

他的轨迹方程是这样

那么速度呢

我们通过对坐标求导数而求得速度的分量

比如说速度x方向的分量就是坐标x的一次导数

时间导数

那么这个时间导数当然很容易 它是等于-1

那么速度y方向的分量呢就是y的时间一次导数

那么算出来也很容易

那么这个提问的问题是

当x=-3的这个位置时

当然我刚才说的它对应的t=3

那这个时候速度是等于多少

所以我们把t=3代入进去

我们就得到了速度的这个矢量表示

那么我们把这个方向在图里面做出来的话

我们发现这个方向是这个方向

那它的大小的也就是速率

其实很容易通过分量平方开分号来计算出来

加速度 加速度怎么计算呢

我们也可以通过对速度分量求一次导数

计算出加速度的分量

比如说 沿着x坐标轴分量的加速度呢

是速度x轴分量的一次时间导数

当然速度沿着x轴分量它是一个常量

你求导数它就变成0了

那么y方向呢 一样

你对这个y方向的速度分量求一次导数

就是加速度在y方向的值

它是等于-2

把它写成矢量式子

其实就是这个加速度是沿着y的负方向大小是2

你会发现这个加速度和具体的位置没有关系

所以这道题里给出来的问题

其实是加速度等于常矢量的情况下的一个问题

我们再给一个例题

这是一个河岸

河岸的高度呢是h 这是固定的

这是水面

水面上有一个船

船用一个绳子把它系起来

通过这个小滑轮 我们拉这个船

那没条件是什么呢

我们拉这个绳子的速度

是恒定不变的一个量 v0

或者说呢绳子缩短的速率是一个恒定不变的一个量

那这个时候问

船靠岸的速度和加速度应该是多少

那像这类问题呢

实际上我们利用这个导数的这个概念就非常容易解

比如说绳缩短的速率恒定这一点呢

实际上数学的表示是l这一段

l这一段实际上是绳长

绳长随时间的变化率等于-Vo

就是绳子缩短速率恒定为Vo的意思

负值呢是表示这个绳子这段长度它是在缩短的

实际上船的速度也好 船的加速度也好

其实就是船离岸边这个距离s的

时间一次导数和时间两次导数

所以我们只要知道关于s的一个数学关系的话

我们通过这个数学关系求导数

就可以把速度和加速度计算出来

这里边s所包含的这个关系式子

这个直角三角形的一个关系也就是勾股定理

l^2=h^2+s^2

那么如果我对这个式子求一次时间导数的话

h这个高度是不随时间改变的

所以当你求导数的时候它就等于0了

那么剩下对l的一个导数对s有一个导数

l对时间的导数-Vo呢

而s对时间的一次导数

其实就是船靠近岸边的那个速度

所以我们用这个式子计算出来

船靠岸的速度实际上是这个值

当然在这里边你用这个式子算的时候

你把这个l用这个勾股定律的这个式子啊把它计算出来

简化一下就得到这个式子了

那么加速度呢

加速度 我们依然从这个式子再求一次导数

因为加速度是和这个距离s的时间两次导数相关的

那么我们求加速度的时候

我们对这个式子再求一次时间导数

那么这个导数呢比较容易计算

按导数公式来算的话得到这个式子

这个题有个前提就是说绳子缩短的速率是恒定的

也就是说绳子的一次导数是一个常量

那么它的两次导数当然是等于零了

所以这个式子是等于零的

那么在这个式子里边

s1点我们刚刚计算出来了

ι1点我们已经知道

所以s两点我们很容易计算出来

它其实就是加速度

整理一下我们得到这个式子

这里边这些负号

其实是标记这个船是向岸边靠过去的

那么物理上呢你也可以很容易分析一下

比如说这个加速度

越靠近岸加速度的大小就怎样呢就越大

这一节就讲到这 谢谢