2.6 平动非惯性系在线视频

同学好 这一节我们讲非惯性系和惯性力

前边我们讲过 牛顿第二定律其实只在只在惯性系成立

但是我们通常都是在非惯性系观察问题

比如说站在地面参考系

因为地面参考系是一个转动的参考系 它不是惯性系

另外有些问题 你在非惯性系观察这个问题反而方便

所以我们需要把牛顿定律 推广到非惯性系的情况

下面我们就做这件事情

假设有S系这是惯性系

另外一个Sˊ系是相对S系 做加速运动的非惯性系

那么我们在这里边为了方便

研究Sˊ系相对于S系是平动的情况

那么假设Sˊ系相对S系平动加速度是a0

这个时候 两个参考系之间加速度变换关系我们前面给过

那这里边a是质点相对S系的加速度

aˊ是质点相对于Sˊ系的加速度

这个时候在S系质点M当然满足牛顿方程 这没有问题

那么这个力我们一般认为它是不随着参考系改变的

你在S系也好Sˊ系也好 力还是原来的力

那么在Sˊ系看来F就不会等于maˊ

因为如果这个式子成立的话 这个式子当然就不会成立

因为这个式子里边a和aˊ是不一样的 对吧

这就是说明 在Sˊ系牛顿方程是不成立的

那我们在Sˊ系要研究物体的运动

那我们怎么办呢

我们这样 这个式子假如在S系是成立的

然后把这个加速度的变化关系带到这里面来

那么我们就简单得到了这个式子

然后你把是这个右侧的ma0这个量挪到左边去

于是也得到了这个式子

你看这个式子右侧是ma

这个a是Sˊ系的加速度

所以这个隐约好像是Sˊ系的牛顿方程

那么这项怎么办呢

我们把这项定义作一个惯性力

这是一个虚拟力 它是实际不存在在的力

它是为了让Sˊ系有一个牛顿方程而引入的这么一个量

当然这个虚拟力就是我们刚才所说的

负的质点的质量 乘上Sˊ系相对S系的加速度

这样以后呢 我们就看到这样一个方程

那么这个方程呢 你看起来很像是在Sˊ系的牛顿方程

因为右侧是maˊ 这个aˊ就是Sˊ系的加速度

左侧就是力

不过这里边加了一个 我们定义的惯性力

这样呢引入惯性力以后

牛顿方程就可以在平动的非惯性系 也就是这个Sˊ系使用

因为它的形式跟牛顿定律的形式是一样的

只是多了一个惯性力

这个结论呢 也可以推广到 转动参考系的情形

下面我们给几个例子讨论这个问题

第一个例子是 一个匀加速运动的车厢内观察单摆运动

那么这个火车车厢 其实是以加速度a0前进的

火车车厢里面挂了一个单摆

摆长是l 质量是m

那么问题是 这个单摆的平衡位置和振动周期怎么变化

那么我们怎么研究这个问题呢

因为这个单摆是在Sˊ系的 是挂在车厢里边的

所以我们当然要在Sˊ系的方程研究

那么在Sˊ系我们知道 你要用牛顿方程的话

必须引入一个惯性力

当这个惯性力就是负的m

然后乘上火车的平动加速度

所以这个惯性力的方向 是和火车运动加速度的方向相反的

现在我们来看一看平衡位置

假设平衡位置是在θ这个方位

为什么呢 因为这个火车是加速的

所以这个摆的平衡位置肯定是向后倾斜的

假设这个倾斜的角度是θ

那么这个物体实际上是受到一个重力 这个绳子的拉力

在Sˊ系还有一个惯性力 这是一个虚拟力

那么这是一个平衡位置

所以说惯性力和重力的合力 应该和绳子的拉力在一条直线上

所以这个角度应该是θ

那么关于这个θ的tan 应该是这两个的比值对吧

所以我们得出来θ应该是这个值

另外我们假设 和这个拉力平衡的那个力是ma

我们这样假设 这是为了方便

那么这几个力 前边都有质点的质量这么一个系数

所以质量 我们不再考虑了

直接用相应的加速度这些量

那么从这个矢量叠加的原理

我们可以看到 这个直角三角形里面a 用勾股定理就能算出来

那单摆的周期呢

没有惯性力的时候在地面

那么单摆实际上是竖直向下

平衡位置的时候 和绳子的拉力平衡的是重力mg

那个时候单摆的周期是什么呢

就是这样一个式子

那现在在Sˊ系 和这个绳子的拉力平衡的是ma

所以呢 你只要把这个式子里边的g用a代替的话

那就是在Sˊ系的单摆的周期

下面一个例子是这样

我们考察一个自由落体的一个参考系

假设这是地面参考系S

那现在有个电梯

这个电梯是Sˊ系 它正在自由落下 自由下落

我们假设电梯里边有个小物体

那么这个小物体 在Sˊ系里边受力情况是怎样的呢

它当然首先受到一个重力

在Sˊ系 因为Sˊ系相对于地面是自由落体

所以它是以加速度g正在下落的

所以它有一个惯性力

惯性力的方向和下落的加速度的方向相反

那么大小呢是ma

现在这个a就是g

所以在这里边这个物体是不受力的

所以我们说 Sˊ系是一个理想的无外力作用的参考系

那么前边我们说了牛顿第一定律里边

涉及的是没有力的话是一个物体怎么样怎么样

当时我们说没有外力的环境是不太好找的

现在我们发现 自由落体的电梯

实际上是一个很好的

可以检测牛顿第一定律的这么一个实验室

当然没用人愿意在这里做这样一个实验

事实上这个实验是爱因斯坦首先想出来的一个思想实验

那么通过这个思想实验呢

爱因斯坦发现 和这个重力相关的这个质量

这个质量叫引力质量 和这个惯性相关的惯性质量

实际上他们两个是一样的

我们把它叫做等效原理

那么在这个等效原理的基础上

爱因斯坦就发现了广义相对论

最后一个例子呢

我们说 月球 地球 太阳这三个系统

木星 火星 其他行星对这个月球的运动几乎是没什么影响的

所以我们就忽略掉了

那么这个问题是这样的

第一个 问你月球所受的地球和太阳引力之比是多少

第二个 月球在地心参考系的运动方程是什么

第一个问题呢比较容易解

就是月球受的地球和太阳的 当然是万有引力

你只要把万有引力的公式代进来

把这个月球受到地球的力 和月球受到太阳的力

你用万有引力公式 把大小放进去

那么放到这里以后

引力系数G约掉了 月球的质量也约掉了

然后剩下就是 地球的质量 太阳的质量

地球跟月球的距离 太阳跟月球的距离

那么这些东西 都可以从物理手册里面找到

把这些数值带进去算出来 它就是0.45

那么这个式子意味着什么呢

就是月球受到太阳引力的大小

是月球受到地球引力大小的 两倍还要多

第二个问题月球在地心参考系的运动方程是什么

我们先把结果给出来

这个结果就是 月球所受地球的力等于Ma

就是月球质量 和月球相对地心参考系的加速度

前边第一个问题里边我们知道

太阳对月球的力比地球对月球的力啊还要大两倍还要多

可是在月球的运动方程里面

太阳对月球的力这一项没有出现 这很奇怪对吧

我们看一看是为什么

在太阳参考系 太阳参考系是比较理想的惯性系

那么在那里边呢 地球的运动方程我们可以这样写

地球受到月球的力 地球受到太阳的力加在一起等于Ma

这里边这个a是地球的加速度

那么这个质量当然是地球的质量

那么我们来比较一下这两个力

这两个力跟刚才的比较方法一样

用万有引力公式带进去

一比较很容易知道

地球受到月球的力 相比地球受到太阳的力它是非常非常小的

所以我们在这里边呢 可以把月球对地球的力忽略掉

那么这个方程就得到了这个 剩下这个方程

那么在地心参考系的月球的运动方程呢

在这里要小心 因为地心参考系是一个非惯性系

因为地球是受到太阳的引力有一个加速度

所以你写月球的运动方程的时候

你要加上一个惯性力

那么前边我们说了

惯性力等于负的月球的质量 再乘上地心的加速度

那么在这里边呢 我们来看看这一项

太阳对月球的这个力

因为地球和月球之间的距离 相比对太阳的距离来说要小很多

所以说呢在这个太阳参考系看来啊

其实月球也好 地球也好 大概在一个位置

他们离太阳的距离都差不多

所以说呢月球受到太阳的引力 和地球受到的太阳引力

他们之间的差别其实只是这个质量的比值

所以利用这个牛顿万有引力公式

你可以简单估算一下

其实月球受到太阳的引力大致是等于

地球受到太阳引力的这么个质量的倍数

而这个惯性力呢

你把这个惯性力里边a0就是地球的加速度

用这个式子算出来代进来 你很容易化成这个式子

你看这两个式子是一样的 所以他们是等于0

所以月球在地心参考系的方程就是这样的

就只剩下月球受到地球引力的那一项 然后等于Ma

所以虽然太阳对月球的引力是很强的

但是这一项和月球的惯性力抵消掉

这一节的内容就讲到这 谢谢