10.2 玻耳兹曼分布律和平均自由程（二）在线视频

同学们好

这节课呢给大家介绍一个非常重要的概念

叫做分子的平均自由程

那么在分子运动的提出之后啊

荷兰的化学家巴洛特就说啊

说这里面有一个重要的矛盾

什么矛盾呢

因为我们求出来的分子平均速率

它是100m/s的量级

这是非常快的

100m/s的意思是什么意思呢

我在这

如果另外一个地方离我10米

那么这的分子可以瞬间就到那个地方

只需要0.1秒

那么这是和我们日常经验矛盾的

假设我这有一瓶二氧化氮气体

我把这个盖打开

那么按照这个说法

应该在10米之外立刻就闻到

这个二氧化氮刺激的味道

但事实上 并没有发生这样的事情

我们就要稍微等一等才能闻到这个味道

这是为什么呢

这个就是分子运动论的一个佯谬

那么怎么去解释这件事情呢

我们可以说是这样一个过程

这个二氧化氮的分子

并不是直接跑到10米以外的地方

而是经过运动的一个剧烈的碰撞

走了一个非常曲折的一个路线

才到达10米外的地方

而这个路线实际上要比10米远远长

所以要过很长时间

那边才能闻到这个味道

也就是说

粒子走了一个艰难曲折的一个路程

那为了解释刚才那个过程

那我们要引入一个平均自由程的概念

那么什么叫平均自由程呢

是指分子在两次碰撞之间走的这个路程的平均值

那如果这个平均值很小

就可以解释刚才分子确实走了一个曲折复杂

的那么一个路线

那么为了去计算这个分子的平均自由程

我们先要计算什么呢

先要计算分子的平均碰撞率

因为自由程的直接运算是很困难的

这个推导呢

是一个很重要的典型的推导

希望同学们把它掌握

要做这个推导我要先做几个基本假设

第一

我们假设所有的分子都是同一种分子

也就是说分子具有一样的大小有效直径

这个直径大概是一个埃的量级

这个就是那个图像

一个分子的它的半径是d/2

那么两个分子之间的距离

也就是两个分子质心的距离

大概就是一个直径的距离

一个d

第二我们假设所有分子都是弹性碰撞

那么光有前面两个的假设还不够

因为分子碰撞还是很复杂的

我们第三个假设很有意思

我们只考虑一个分子的运动

我们认为其他分子相对这个分子不动

这样的话

碰撞问题就变得很简单

不过呢

因为这是一个分子相对于其他分子的运动

所以我们取得这个速率

不应该是分子的运动速率

而是分子相对于另外一个分子的运动的速率

也就是用u来表示

我们看一看是个什么样的情况

现在我们假设所有的这个绿球

也就是其他分子都不动了

这个红球就是我们要研究的这个分子

这个分子运动的时候会和其他不动的分子发生碰撞

那么什么样的分子才会和它发生碰撞呢

我们说这个很简单

只有在以d为半径的这个管道里面的分子

才会撞到那个红球上面

其他分子撞不上

那么我们只要计

单位时间内

这个管道里面有多少分子

单位时间的意思什么啊

只有一个长度

那么这个管道里的总分子数

把它算出来

那么实际上碰撞的分子数我们就知道了

也就知道了单位时间内碰撞的次数

那么这个也就是平均碰撞频率

那么我们看看

假设啊

一个分子一秒被碰撞的次数是什么样呢

应该是这么一个圆桶的体积

底面积我们刚刚说

半径是d

那么底面就是πd平方

那么高是多少呢

我们说一秒钟

一秒钟这个分子走大概多远呢

例如这么远

就这u是一个分子相对于别的分子的平均速率

那么再远的分子它是走不到

所以撞不上

好了这个体积多少啊

这个体积刚好就是底面积乘以高

πd方乘以一个u

那么这个体积里的所有的其他分子数

等于什么啊

等于体积乘以一个分子数密度就行了

这样呢就把这个推出来了

一个分子他的平均碰撞频率等于多少呢

等于这么大

下面呢我要推导这个u

这个u和我们以前的平均速率

满足这么一个关系

差一个根号2倍

这个推导呢

是一个简单的数学推导

那么怎么去算平均的这个速率呢

不管任何物理量的平均值

我们先要有分布律

然后把这个物理量和分布律相乘

再做积分

这是一个标准的做法

那么分布律呢

对于相对运动的分布律

我们要拿出来两个分子

一个分子和另外一个被撞的分子

这两个分子的速度分布律

这样一个关系

那这个分布律

它里面和u无关

所以我要做一个作坐标变换

这个坐标变换是这样的

第一项实际上就是什么啊

就是两个分子的质心运动的速度

第二项就是相对运动的速度

也就是我们将来要求的

那么简单的算一下

你就会知道它的雅克比行列式等于1

所以这个积分的微元是相等的

可以直接换过来

然后我要把这个地方也要换

换成v和u

那么换法也不难

我们比如举x方向为例

x方加上这个两个速度的平方

是这样的一个关系

我把它拆开之后呢

会发现很自然的就得到了

这么一个式子

那么对于y和z也是一样的

我把三个分量合起来

就会得到了这么一个简单的关系

我就把速度换成了这个相对运动的速度

和质心速度

那么这个式子我们看啊

很有意思这个2还有这个1/2这是什么意思

我们这个2正好对应了

两个分子构成的总的一个质点系呢

总质量

取到2m

而这1/2呢它又对于相对运动的

正好又对应的两个质点运动的折合质量

这是相对运动的质量

因此这个分布律会变得

我们看到了和原来两个分子v1 v2

的一个分布律很像

只不过质量变了一个是总质量

一个是折合质量

而质心运动呢不是我们关心的

我们直接把它积分积掉

就只考虑相对运动那部分

有了这个

我们就可以算相对运动的平均速率

那么这个其实已经不用算了

因为我们算过一个分子的平均速率

我们看到这个分布律的样子和那个并没有任何差别

所以直接把一个分子的运动平均速率公式

代进去就行了

就是这么一个式子

那这里呢

质量是折合质量

我把它换回正常的分子质量

结果就差了一个√2倍

结果就证明完了

这个√2的含义啊

很有意思 它什么意思呢

它说啊

相对运动的这个平均速率跟原来在地面系

看那个平均速率的关系是两个分子

成一个90度的夹角

那么合成的速率就是√2倍的 乘以v

是不是非常意思啊

那么同学可以课下去琢磨琢磨

为什么有这么一个结果

有了这个之后呢

我们就得到了分子

平均碰撞率的一个最后的一个公式

然后呢

平均自由程是什么意思呢

是一个分子在两次碰撞之间

走的平均的这个距离

那么可以用一秒钟走的距离

就是v除以一秒钟碰撞的次数Z

就得到了平均自由程

有了这个之后呢

我们就可以理解一下

微观的真空的概念

按照平均自由程公式

我们把理想气体方程式代进去

也就是把n换成压强和温度

得到这么一个简单的关系

我们看到

在确定的温度下

分子的平均自由程是和压强成反比的

这个计算呢比较简单

所以啊压强降低

它的平均自由程就会不断地增加

但是啊我们知道

气体啊它实际上是装到一个容器里面

当压强降的足够小的时候

容器的线度就变得不能忽略了

这时候

如果容器的线度远远小于分子刚刚算出来的

平均自由程

那么分子实际上主要就是和谁啊

和器壁来碰撞

而不是和气压分子来碰撞

因此呢

分子的平均自由程就不能再看做这个分子的

平均自由程了

应该是容器的线度

因为它主要跟器壁去撞

这个时候呢

平均自由程就和压强无关了

它是只等于一个容器的线度

这就是微观上真空的含义

什么叫微观上真空啊

就是可以忽略分子之间的碰撞

他和器壁的碰撞变成主要的需要解决的问题

那么在这个时候碰撞率也变了

不再是刚才那个式子

最后呢

给大伙儿看一看典型的例子

比如说

在标况下面的平均碰撞频率和自由程是多少

那么把标况的值代进去

假设

分子的直径呢就是一个埃

那么标况下的分子数密度

我们已经算过了

把这个值代进去啊

我们就得到了平均自由程

大概是100个纳米

或者说0.1个微米

而平均碰撞频率多少呢

把它代进去是10^9m/s

非常大的一个碰撞率

通过这两个值我就知道

确实气体分子在运动的过程中走了一个非常

非常曲折的路线

大概每0.1微米就碰撞一次

就来回的拐来拐去

一秒钟就要碰撞10的9次方次

可见刚才我们那个解释是合理的

那么如果是在高真空下边

比如说真空度是10^-3Pa

这么一个压强

容器的直径呢是5cm

这个时候什么样呢

我们把这个值代进去啊

一样的这个n呢

我们可以简单的算一算

然后呢

按照原来这个平均自由程公式

直接算一下

你会得到这么一个结果6.66m大概这么一个数

这个数和5cm比要远远大于5cm

因此这个容器它确实是一个真空的状态

这个时候平均自由程就不应该再看成6.66m了

应该是什么啊

应该是的容器线度

也就是5cm

而碰撞率呢

我们按照碰撞率的公式把它代进去

这个碰撞率呢

是远远的大于由这个自由程算出来的碰撞率

应该等于9.4*10^3/s

它代表了分子每秒钟和器壁的碰撞的次数好

那么这节我们就讲到这 谢谢