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同学们好

这节呢我们讲几道例题

第一个呢是理想气体经历下面这些过程

讨论这些物理量的符号

那这里边呢 这个是等温线

等温线上有两点ab

一个过程1是这么过来

2这个过程呢 是从b这么过去

那么这些过程当中这些物理量的符号

第一个这个内能差啊

内能是跟这个过程没有关系的

理想气体这个是在等温线上

所以内能是不改变

所以它的符号是0

当然这个温度也是不改变的了

那么1这个过程做功怎么样呢

做功其实是这个下边的面积对吧

那显然是大于0的

吸热呢 那么根据热力学第一定律

这个过程呢内能不改变

所以吸的热 就等于对外做的功

当然这就是正的了

熵差呢 和这个过程没有关系

我可以选择沿着等温这个可逆过程计算熵差

那么计算过程呢

我们可以用这个积分对吧a到b

现在你这个是等温过程温度不变

我可以把这个T拿到外面来

剩下的这个每一段吸热把它加起来

不就是这一过程吸的热么

很显然这个就要大于0了

那么对于第二个过程呢

那当然 你这个没有符号改变的话

它也是没有符号改变对吧

这个也是一样的

那么这个过程做的功呢是这个下面的面积

可是这个方向是这个方向

所以是负的面积所以它是负的对吧

根据热力学第一定律

你这个过程吸的热就等于对外做的功

所以你这个是负的它也是负的 对吧

熵差呢 因为熵是状态量

所以b点的熵减去a点的熵

如果是大于0的话反过来当然它是小于0了

再看一个过程

下面这个 是一个绝热线上的两点ab

第一个过程是这么过来

第二个过程是这么过来

那么这个过程当中这些物理量符号怎么改变

因为熵差呢是和这些过程没有关系的

我可以选择沿着这个

可逆绝热线计算这个熵差

那很显然绝热过程它是不吸热的

所以熵差是等于0

那么这个过程做的功呢

当然是这个下边的面积

当然它是大于0对吧

内能差呢 内能差也是跟过程没有关系的

所以我可以沿着这个过程呢

计算这个内能差对不对

那么沿着这个过程呢它是不吸热的 绝热线啊

所以根据热力学第一定律

沿着这个线的内能的增量

是等于负的这个过程所做的功

所以这是一个负号对吧

当然这个温度改变也是负的

那么吸热呢 我可以这样计算

我做这么一个循环过程 沿着1走到b

然后沿着这个绝热线呢又回到a

这个循环过程内能是不改变的

所以对外做的功等于吸的热

而这个过程呢 是不吸热的

所以整个这个循环过程只是这一段是吸热的

所以这一段吸热呢

刚好就是这个小闭合线里边的面积对吧

所以它是正的

反过来如果是走第2这个过程

那么因为熵差是跟这个过程没有关系的

所以它还是0

做功呢 做功当然是这个下边的这个面积

当然它也是大于0

内能差呢 内能差跟过程没有关系

所以这个是负它也是负

温度差也是一样 对吧

吸热呢 我们还可以选择这么一个闭合路径

那么这个闭合路径吸的热就等于对外做的功

也就是吸的热就是这里边的这个面积

可是这个循环方向是这样一个方向

所以它是负的这个面积

所以它是一个负的

下面这个例子呢 是讲有一公斤的0℃的冰

我让它跟这个20℃的这个热库接触

那么 它就变成了水 对吧

那么这个过程 我要计算

第一个是0℃的冰和水微观状态数目的比

第二个呢这个冰全部变成20℃水以后

整个系统的熵的改变是多少

当然你要计算熵的改变的时候

你得设计一个可逆过程

因为这个0℃的冰和20℃的热库接触

它最后融化成水的这个过程它不是可逆过程

所以你得换一个可逆过程

那么可逆过程怎么实现呢

我们先让这个0℃的冰呢和0℃的热库接触

让它变成0℃的水

那这是一个可逆过程对吧

所以我们可以用来计算熵差

那么熵差呢 我们可以利用这个式子来计算 对吧

那么在这个过程当中0℃的冰呢

融化成0℃水的过程温度是不改变的

所以这个温度可以拿到外边

吸的热呢 其实就等于这个溶解热对不对

那么你把溶解热这个值代进去

温度呢 你当然要用绝对温度

你不能用摄氏温度

这样结果 把这些数据代进来

算出来的这个熵变呢就是这个

我们再利用玻尔兹曼熵公式呢

可以计算0℃的水和0℃的冰

状态数的比值

那么这个比值用这个式子计算出来就是这样

把刚才这个熵的变化代进来

就是0℃的水状态数

和0℃的冰状态数之间的比值

这是一个巨大的一个数

e指数上面还有一个这么大的一个数

所以我前边说过

微观状态数目是我所认识的最大的这个数

没有比这个再大的数了

那么下面呢 这个0℃的水还要继续升温到20℃的水

这个过程呢 我们还要设计成一个可逆过程

那么可逆过程当然是和一系列的这个热库接触

逐渐把温度上升到20℃的过程

那么这个过程呢 我们可以计算

熵的改变是这个式子

那么吸的热就等于这个比热乘上

质量再乘上这个温差

那么温度是逐渐上升的

所以你要这么积分对吧

积分结果 把我们知道的这些数据代进去

别忘了这个温度要用绝对温度

结果这个过程的熵的变化是这么多

那么热库呢 为了让这个冰融化它得放热

那么在这个过程中呢 它的熵就要减少

那么减少量等于多少呢

很显然也是用这个可逆过程来计算

假设这个环境温度呢一直保持不变

那么这个公式里边呢 温度可以拿出来对吧

那么这个部分呢 就是这个热库总的放热

一部分是用来贡献给这个溶解热

另一部分是用来让这个水从0℃升温到20℃

把这里边这些数据代进来你计算出来

那么它的熵减小量是这样多

和刚才我们前边讲的

冰块熵增加的那部分合在一起

就是总的熵的改变对吧

加在一起呢 熵总体是增加的

好 再看一个例子哦

假设有1摩尔的理想气体

它从这个体积为V1 经过绝热自由膨胀

变成了体积V2

那么这个过程呢求熵的改变

那这个前边我们利用这个玻尔兹曼熵公式计算过

计算结果呢

因为这跟这个系统的微观状态数目有关系

状态数目呢 是和体积的N次方成正比

这里边这个N呢 就是这里边气体分子的个数

那么把它代入到玻尔兹曼熵公式里边

我们知道对1摩尔这样的气体

经过这个绝热自由膨胀以后

它的熵增加量呢 是这样一个数值

下面呢 我们用克劳修斯熵公式

来计算这个过程的熵的改变

有人可能想 你这个过程不是绝热自由膨胀么

那不吸热对不对

那会不会这个熵的改变是等于0啊

那不是跟刚才我们计算的

玻尔兹曼熵公式矛盾么

你比如说 你用这个公式计算

绝热自由膨胀过程理想气体温度又不变

你把这个温度拿到外边

那么吸的热就是总的吸热

它是绝热过程不吸热所以它等于0

它当然这是不对的 对吧

实际上理想气体绝热自由膨胀过程

它不是可逆过程

你不能用克劳修斯熵公式

对于这个实际过程做计算

如果你对这个实际过程做计算的话

我们是其实是要用到克劳修斯不等式

也就是说这个过程的熵的变化其实是

大于你这个实际不可逆过程这个积分

这个积分当然是等于0

所以这个过程的熵的变化是大于0的

具体等于多少呢

如果我用克劳修斯熵公式来计算的话

我就得设计可逆过程来计算

那么第一个呢

因为你这个绝热自由膨胀过程

理想气体的温度是不改变的

所以初末态其实是落在理想气体等温线上对吧

假如我是选择这个等温可逆过程

从体积V1变化到体积V2

那么这个时候呢 我可以利用克劳修斯熵公式

来计算这个熵的改变

因为温度不变所以温度拿到外边来

这个过程理想气体内能不变

所以吸的热就等于对外做的功

利用理想气体状态方程

我们可以得出这个关系然后积分

算出来结果呢 和我们前面用玻尔兹曼熵公式

算出的结果是完全一样的

我们还可以选择另外的可逆过程

你比如说 我可以

先经过等压过程 然后再经过等容过程

再到这个状态来

那么利用这个克劳修斯熵公式呢

你这个等压过程吸热当然是

要等压过程的热容量乘上温度的改变对吧

等容过程的吸热呢当然你要用定容热容量

来计算这个吸热

利用迈耶公式 考虑到状态1和状态2

它的温度是一样的

你简单化简一下

我们就可以得到这个式子

因为这个第3状态和第2状态之间

温度的关系也可以用

理想气体状态方程很容易估算出来

这个结果当然和

我们前边这个计算的结果是一样啦

你还可以选择另一个可逆过程

你比如说你先经过绝热过程到4这个状态

再经过等压过程到2这个状态来

那么这个过程呢 因为是可逆过程

所以你从1到4这个绝热可逆过程

对熵的改变没有什么贡献

你只需计算从4到2这个等压过程

熵的改变就可以了

那么这个等压过程吸热

当然你用定压热容量来计算对吧

计算结果是这个 对不对

那这里边这个T4是这个状态的温度

它是在绝热线上

所以我们可以利用理想气体准静态

绝热过程方程呢

可以把这个T4的温度呢计算出来

计算出来的过程当中我们会遇到这个

1状态和2状态压强的这个比值

利用理想气体状态方程
我们可以把它换算成这个结果

当然这个结果

跟前边我们推导的结果都是一样的 对吧

好 这节内容就讲到这儿 谢谢