4.1 功和动能定理在线视频

同学们好

这一小节开始我们学习有关功和能的知识

本节讲呢功和动能定理

我们首先定义元功

元功的定义是力和它所作用的质点的元位移的标量积

我们把它计做dW=F·dr

dr就是质点的元位移

那么有了元功的定义我们就可以计算

一个质点在运动过程当中力对它所做的功

假设这个质点从A点沿着L这条路径运动到B

它所受到的力是F

那么在这个过程当中怎么计算这个力的功呢

我们把这一段曲线段呢

想象成是由无穷多个小的直线段的首尾拼接而成

每一个小的直线段对应一个元位移

这个红得箭头呢就代表元位移

其中dr就是一个元位移

它和力的夹角是θ

然后我们把每一个小的元位移对应的元功累计求和

就得到了力所做得功

我们把它记做一个积分

就是元功的累计求和我们把它记做一个定积分

但是要强调它是沿着路径L进行的

我们可以把这个元功呢进一步表达成是力点乘元位移

然后把这个力点乘元位移写成标量的形式

那么会出现一个它们之间夹角的余弦

根据这个表达式呢我们可以得到下面三点结论

功是一个标量可正可负 因为这个有夹角的余弦

所以这个积分呢有可能正有可能负

第二点呢就是功是一个过程量

大家去想象一下

如果这个质点从A开始沿着另一条不同的路径运动的话

那么这个定积分的结果就有可能不一样

所以功和你这个路径有关

这是从物理上解释的

如果从数学上看的话

那么功对应这个定积分

一般情况下找不到一个标量性质的原函数

把这个定积分表达成这个原函数的差值

这就是功是过程量的含义

第三点就是功和参考系有关

因为在不同参考观察这个质点的运动轨迹的话

一般情况不一样

所以这个积分的结果也不一样

所以功和参考系有关

下面我们讲动能定理

首先我们定义质点的动能等于1/2mv^2

这个我们都知道

根据这个定义我们可以知道动能是一个状态量

下面我们来证明这个质点的动能定理

质点动能定理讲的就是质点所受的合力做的功

等于质点动能的增量

我们把质点所受的合力做的功写出来就是这样的

这个F·dr沿着某一个路径从初位置积到末位置

在这个证明过程当中我们用不到那个具体的路径

下面我们把这个合力换一下

大家想一下质点所受的合力等于什么呢

我们根据动量定理可以知道

质点所受的合力等于质点动量对时间求导

我们把这里头的这个位矢

位矢的微分也就是元位移

和这个时间的微分合到一块

这就变成了位矢对时间求导 它就等于速度

这样积分号里面就出现了速度点乘速度的微分

这个v·dv等于什么呢

这两个顺序可以互换就等于dv·v

这样我们配一个dv·v就需要除以个2

也就是说括号里这两项是相等的

v·dv加上dv·v

根据两个矢量标量积的微分的规则

我们可以知道它的结果就是速度点乘速度的微分

速度点乘速度就可以把这个矢量符号去掉

就变成速率的平方

这样这个积分就可以算出来了

它就等于质点的末动能减去初动能

这样我们就证明了质点的动能定理

有了质点的动能定理我们进一步可以把它推广到质点系

我们假设质点系里头第i个质点

它所受的合外力做的功呢等于W外i

合内力做的功等于W内i

合内力这个地方的意思是指

质点系内所有其它质点对这个i质点作用力的矢量和

那么对这个第i个质点运用质点的动能定理

可以写出来这样的表达式子就是

合外力做的功加上合内力做的功

等于它的末动能减去初动能

我们把这个等式两边的指标i进行求和

就得到了质点系的动能定理

这个说起来其实有点繁琐

就是质点系内每一个质点所受的合外力做的功累计求和

加上每一个质点所受的合内力做的功累计求和

等于质点系内每一个质点的末动能累计求和

减去每一个质点的初动能累计求和

我们把这样一个比较繁琐的叙述呢 把它简称为

质点系的外力做功加上质点系的内力做功

等于质点系的末动能减去初动能

等于质点系动能的增量

这就是质点系的动能定理

关于动能定理呢我们要注意两点

第一点就是这个内力虽然是成对出现的

但是它的功之和不一定为0

我们在前面学习

质点系的动量定理和角动量定理的时候

大家应该记得

就是质点系的动量和角动量是不受内力影响的

但是质点系的动能不是这样

质点系的内力做功会影响质点系的动能

这一点要特别注意

第二点就是动能定理适用的条件是惯性系

这个从前面证明我们已经看到

因为我们使用了质点的动量定理

质点的动量定理成立条件就是惯性系

所以动能定理也要在惯性系当中使用

如果在遇到非惯性系怎么办呢

我们只要计入惯性力做的功就可以了

好这一小节就讲到这里 谢谢大家