4.2 一对力的功在线视频

大家好 这一小节我们学习一对力的功

什么是一对力呢

一对力的定义是

分别作用到两个物体上的大小相等方向相反的两个力

一对力并不要求它是作用力和反作用力

下面我们看一对力的功

假设有两个质点沿着各自的轨迹运动

它们之间的所受的力满足一对力的要求

它们相对于原点的位矢呢分别是r1 r2

元位移分别是dr1 dr2

那么这一对力做的元功是什么呢

根据元功的定义呢

就可以写出来是f1·dr1加上f2·dr2

由于f1和f2是一对力

所以f1=-f2

这样这表达式就可以写成f2·(dr2-dr1)

括号里是两个位矢微分的差

根据微分的规则的话我们可以把它写成

位矢差的微分

就是变成f2·d(r2-r1)

r2-r1是什么呢

就是m2相对于m1的位矢

我们把它记做r21

这样这个表达式就变成了f2·dr21

dr21是m2相对于m1的位矢的微分

我们把它称为m2相对于m1的元位移

这样的一对力的元功呢就表达成了

m2所受的力点乘m2相对于m1的元位移

当然我们也可以把f2用-f1替代

这样的话最后的结果就变成一对力的元功等于f1·dr12

无论如何呢我们最后的结果可以总结成这样

就是一对力的元功可以表示成什么呢

表示成单个一个力点乘相对位矢的微分

写出来就是这样的

这个相对位矢的微分就是相对元位移

所以一对力的元功可以表示成单个力点乘相对元位移

那么一对力在两个质点运动结束之后呢

总共做了多少功呢

那么我们就要对这个右面进行积分

积分的最关键点就是要选择路径

应该选择什么路径呢这一点特别重要

因为这个微分是相对位矢

所以这个积分的路径必须选择是相对运动路径

积分的上下线呢是选择相对起始点和相对末了点

所以最后一对力的功

写出来就是这样一个表达式

单个力点乘相对元位移

沿着相对路径运动路径进行积分

从相对初位置积到相对末位置

我们看这个公式当中

除了这个单个力不是相对的量之外

其它的都是相对的量

根据牛顿的假设呢

如果这个力是真实力的话它跟参考系无关

而这些相对的量呢都跟参考系无关

所以我们可以取得一个结论就是什么呢

一对力的功呢跟参考系是没有任何关系的

这是一个重要的结论

下面让大家思考一个问题就是

一对滑动摩擦力做的功有什么特点

大家想一下

一对滑动摩擦力做功的话我们可以用一个摩擦力

一个滑动摩擦力点乘相对元位移然后进行积分得到

那么一个滑动摩擦力和相对元位移是什么关系呢

一定是方向相反所以点乘的结果一定是负的

积分的结果也是负的

所以一对滑动摩擦力做的功一定是负的

我们通常所说的摩擦生热呢

指的是一对滑动摩擦力做功的结果

不是单个滑动摩擦力做功

这一点要特别注意

下面这一点也挺重要就是

没有相对位移或者相对位移和一对力垂直的时候

一对力的功一定为零

我们举一个例子来说明

比如说一个物体沿着斜面下滑

斜面呢向右面运动 物体相对于地面的速度是vm

相对于斜面的速度是vm对M

那么斜面相对于地面的速度呢是vM

这个N和N’呢是它们之间的相互作用力

是满足一对力的关系的

那么我们就问在这个运动过程当中

这一对力做的功是多少

我们以地面参考系来计算

先看这个N这个力做的功

这个N这个力做功是不是等于零

很显然不为零 因为什么呢

N这个力和物体相对于地面的速度是不垂直的

所以它做的功不等于零

而N’这个力呢它是作用到F上的 作用到斜面上的

它做功等不等于零呢

很显然也不等于零

因为这个N’和斜面的速度也不垂直

所以N’做的功也不等于零

但是这两份功加起来等不等于零呢

根据我们刚才的那个结论

我们可以知道这两个功加起来一定等于零

原因很简单就是这一对力和相对速度是垂直的

和相对速度垂直就是相当于和相对位移垂直

所以这一段力的功加起来一定等于零

最后给大家留一个思考题

这个思考题也挺有意思 就是让大家思考一下

单个静摩檫力做功 它的结果是什么

它是大于零小于零还是等于零

然后一对静摩檫力做功

它的结果是大于零等于零还是小于零

提醒大家一下讨论这个问题的时候呢

要注意参考系

这个有可能和参考系有关

和相对运动无关

好这一小节就讲到这儿

谢谢大家