1.8 变速圆周运动加速度*在线视频

同学好 这一节我们讲变速圆周运动

那么这是单*号的内容

那变速圆周运动其实是角速度大小随时间变化的这种运动

那么角速度随时间变化

所以我一般呢来定义一个角加速度这个量来描述这种运动

角加速度

就定义为角速度对时间的变化率

当然这个我们知道是角速度对时间的导数

那么角加速度的方向怎么规定呢

在圆周运动的时候角速度的方向是垂直于这个圆面的轴向

正向是用右手螺旋来定义

那么所以呢我们对这个角加速度的方向是这样规定的

我们取角速度的方向作为角加速度的正方向

然后计算下面这个量

就是α等于ω大小对时间的导数

如果这个量大于0呢就表示你这个角加速度的方向

就沿着这个角速度的方向

如果这个量小于0呢说明呢角速度的方向

是和角加速度的方向是相反的

那么说速度呢我们说圆周运动的线速度啊

还是用ω×R这个式子来表示

因为这个式子 是由圆周运动圆周的特性决定的

它跟这个圆周运动速度的变化 还是速度恒定 没有什么关系

那么这个大小呢

我们知道角速度的方向和半径方向是垂直的

所以它的大小就是 ωR了

那么变速圆周运动的加速度呢

加速度当然是速度对时间的导数

当然我们也可以用极限来表示

那么我们先看一看 一个圆周运动

假设t时刻质点在这个位置

那么它的速度呢用vt这个矢量表示

当然它是沿着这个切向

那么过了△t时间呢

这个质点就移动到了这边

这个时候它的速度是用V（t+△t）这个矢量来表示的

当然方向也是这个地方的切向 对不对

因为这是变速圆周运动

所以这两个速度不仅方向改变而且大小也是不一样的

那么为了计算这个加速度我们还要知道△V是什么样的

所以我们还是按照老办法

把这一块的给它放大移动到这来

平移这是平移过来的

然后这个时候呢把两个矢量的端点对齐

这个时候 t+△t时刻的速度和t时刻速度的差值

就是这个△V啊就是这个矢量

那△V这个矢量我们怎么来计算呢

我们这样做从t时刻速度的这个端点呢

向这个矢量引一个垂线

那么这个垂线的大小我们用△Vn来表示

然后从这个足到这一段的长度我们用△Vt来表示

我们给他一个方向

那么我们从这个矢量的加法我们知道

实际上这个△V其实是这两段矢量的和

那么我们先来看一看他们这个方向是什么样子的

那么这个方向我们先看看

这个方向当△t趋于0的时候△θ趋于0

这个时候这个方向逐渐的就垂直于这个速度的方向了

垂直于速度方向向这个方向实际上是指向圆心的方向

所以我们把它叫做内法线方向

我们用n帽这个单位适量来表示

那么这个方向呢

这个方向当△θ趋于0的时候

速度t也好速度（t+△t）也好

它们的方向都是一致的 沿着一个切线方向

所以这个方向我们把它叫做切线方向用θ帽这个单位矢量来表示

那么有了这个单位矢量呢

其实我们原来说的这个速度啊

就可以用这个式子来表示

就是速度的大小以及切线方向

这样呢Δv这个矢量就可以用这两段矢量来表示啦

那这个矢量呢大小是这个 方向是切向

这个呢大小是ΔVn方向是n帽

我们对这个式子

比如说两边都除以Δt

然后令Δt趋于0取极限

这样呢左边这个式子就是加速度a啊

就是我们要求的这个加速度a

这一项里面ΔVt实际上就是这个长度

在Δt趋于0的时候Δθ趋于0

所以这个时候呢这个长度和这个长度非常接近

所以实际上ΔVt就是在（t+Δt）时刻的速度和t时刻速度的差值

这一项里面ΔVn的大小呢 就是这个大小

实际上在Δt趋于0的时候Δθ的趋于0

这个大小其实非常接近于

这个长度也就是速度的长度乘上这个Δθ

当Δt趋于0的时候这两个式子就取等号

我们把这个式子代到这里面

那这一项实际上就是速度的大小对时间的导数

这一项呢里面有Δθ/Δt 这刚好是角速度ω

所以它是ω乘上速度

当然方向还是n帽这个方向

当Δt趋于0取极限的时候 它们就变成了一个等式

那这里面这一向是沿着切线方向

所以速度对时间的导数呢

我们也把它叫做加速度沿着切向分量

这一项是沿着法向分量

所以它是加速度沿着法向分量

有时候也把它叫做向心加速度

在圆周运动的时候呢

速度是等于R 乘上ω

这个半径R是不改变的

所以当你把这个式子代到这里面的时候呢

实际上对速度大小的导数就是R乘上对ω的时间导数

而ω对时间的导数 我们前边定义过是角加速度

所以加速度切向分量实际上是圆周半径乘上角加速度

这一项呢当然直接写也行

把这个式子代进去可以化成Rω平方

也可以把ω变成V变成这个形式

这是属于(沿着)内法线方向

也是我们前边说的向心加速度这个分量

这些结果我们也可以直接推导

因为加速度不是速度对时间的导数吗

那么速度不是ω×R 吗

现在我们对这个叉积

刚才我们前边定义的那个叉积

对时间求导数

那么数学上我们对这个有公式的

就是对两个矢量叉积的导数

等于对其中一个矢量求导数在叉上另一量

然后这一项再叉上另一项的这个时间导数

就是这个啊

这是一个导数的一个公式

那么利用这个公式呢 我们可以把这个东西写成两项

一个是对角速度的时间导数一个是R的时间导数

角速度的时间导数我们前边定义了它就是角加速度

所以这一项呢就是角加速度叉上R

矢径对时间的导数呢就是速度

所以它是ω×V

那么这两项代表的意识是什么呢

我们来看看啊

一个质点做圆周运动的时候

这样转那么它的角速度的方向是这个方向

右手螺旋这个方向

当然我们前面说这也正好是角加速度的正方向

所以这一项α×R实际上就是α 这个方向

我转到这来

α 的方向

然后呢这个是矢径R的方向

所以我转过去

转过去的结果就是拇指指的方向刚好就是这一项的方向

那么这一项呢

这一项就是角速度的方向

那么角速度叉上速度的话

我们根据右手螺旋 转过来

这个方向呢实际上是指着内法线方向

所以这两个式子我们可以这样分别写出来

一个是它的大小乘在一起 沿着切向分量

这两个呢是大小乘在一起沿着内法线分量

我们之所以在里面之间把大小写出来

是因为无论角加速度也好 角速度也好

它都是垂直于这个平面的

也就是垂直于这里面的矢径啊速度啊这些量

所以这个结果和我们推导的那个结果是一致的

用这项代表切向的加速分量

这项代表法向加速度分量

这样呢对于一般的变速圆周运动

加速度呢有两项

一项是沿着切向分量

一项是沿着内法线分量的

那么切线分量呢实际上是代表速度大小的变化引起的这个加速度

那么内法线分量就是我们前边讲的向心加速度

对于匀速圆周运动

其实是那个切向加速度分量等于0的那个特殊情况

那么我们再看一下曲线运动的情况

对一般曲线运动的加速度我们怎么办呢

比如说这样一个曲线运动轨迹

一个质点在这个位置

这个时候的速度是V

那么这个时候我们可以知道

它沿着切向的加速度分量应该是等于多少呢

就是速度大小对时间的变化率

这跟圆周运动的情况是一样的

那么法向分量呢

因为这个曲线不是圆

所以你找不到半径

我们可以这样做在里面呢画一个内切圆

那么这个内切圆的半径你比如说是R的话

其实这个内切圆的半径有时候也叫这个曲线在这个点的曲率半径

那么质点在这个位置上

沿着法向的加速度分量就是R分之V平方

好这一节内容我们就讲到这 谢谢