4.13 伯努利方程*在线视频

大家好 这一小节我们接着上节学习流体

那么我们这一小节学伯努利方程

伯努利方程是理想的物体做定常流动时的

动力学方程

它的本质是流体流动中的功能关系式

它不是一个新的原理或者定律

那么我们下面就把伯努利方程推导出来

我们在流体当中任选一个细的流管

在流管当中选一段流体 a1 a2

这个流体的前后端呢这个端面是选成横截面

横截面就意味着在这两个端面处呢

它的压强以及速度是和这个面积元垂直的

这两个面积元的面积分别是ΔS1 ΔS2

压强分别是P1 P2 流速呢分别是V1 V2

现在我们假设这一小段流体呢

在dt时间内移动了一段距离

这个距离呢就是a1 b1

前端的距离呢就是a2 b2

也就是说这一小段流体经过dt时间呢

从a1a2这一段呢变成了b1b2这一段

我们把这一小段流体和地球合到一块

作为一个系统然后考察

经过dt时间的这个运动呢

它的过程当中的功能关系

那么在这个过程当中

这一小段流体会受到其它流体的作用力

这个体现在比如说头上这个位置处呢

它会受到阻力作用

这个表现就是P2的压强

后面这一部分呢就是后面这一段流体会对

这一小段流体做一个推动力的作用

是做正功

当然侧面流体对这个流管内的流体也会有作用力

但是大家注意这个作用力和

这个侧面的压强相适应

这个压强呢

是和这个流体的流动方向垂直的

所以这块不会做功

那么经过这个分析呢

我们可以知道整个这一小块的流体

流动的过程当中呢

其它流体对它做的功是多少呢

我们可以算一算

这对应的是外力的总功

这个写出来就是这个表达式

就是p1Δs1a1b1-p2Δs2a2b2

这个p1Δs1呢就是

后面的流体作用到这个截面上的力

a1b1呢就是运动的距离

这样出来的就是

也就是后面那份流体做的正功

前面的流体对它是阻力作用

那么相应做的就是负的功

这合到一块呢就是整个这段流体

受到的其它流体对它作用力的功

那么大家注意的就是这个

a1b1和a2b2呢等于什么呢

a1b1和a2b2恰恰是等于

这个流速乘上dt

这个代入呢就得到这个关系式

接着我们就用上节课得到的一个结论

就是理想流体做定常流动的时候

那么在任意一个细流管内

它的体积流量相同

体积流量相同意味着就有这个关系式

就是Δs1v1dt等于Δs2v2dt

体积流量本身是指的是Δs1v1 等于Δs2v2

那么我们乘以个dt还是相等的

但是这个乘以dt之后这两量变成什么呢

这两量恰恰变成了

a1b1段这个小的柱体的体积

和a2b2段这个小的柱体的体积

我们把它表示成是ΔV

这样的话这个外力做的功呢

我们把ΔV代入呢恰恰就变成了(p1-p2)ΔV

这个ΔV分别对应这个两个小柱体的体积

这个外力做功就变成了(p1-p2)ΔV

那么我们现在就考虑非保守内力做的功

理想流体我们定义就是没有粘滞性

所以非保守内力做的功就为0

我们选择地球和这一小段流体做为系统

所以这个机械能的增量呢

就包含这段流体的动能的增量

和这个重力势能的增量

我们假设这段流体的后端呢

这部分的高度是h1 前端位置的高度是h2

那么这个机械能的增量

我们首先写出来是这样的

这个机械能增量就是这一小段流体

流动到b1b2位置之后呢

它对应的机械能减去初始时刻的机械能

就是减去a1a2这一段的机械能

这就是机械能的增量

写出来是这样

b1b2段机械能减去a1a2段机械能

这个b1b2段机械能和a1a2段机械能呢

这两段机械能中间有个交叉部分

就是b1和a2这段的机械能

这个相减的时候它就消掉了

那么我们就得到机械能增量就等于

a2b2段的机械能减去a1b1段的机械能

a2b2段的机械能呢就是

这一小块体积内的这个流体的动能

加上这一小块流体的重力势能

那么a1b1段就是这一小段流体的动能

加上它的重力势能

那写出来就是这样的

我们根据功能原理呢有这个关系就是

外力做的功加上非保守内力做功应该

等于机械能的增量

那么我们把这几个关系带到这里头

化简之后就得到这样一个关系式

这个关系式说明什么呢

任一点处的压强加上

1/2这一点处的密度乘以流速的平方

然后再加上这一点处的密度

乘以重力加速度乘以这点的高度

它是一个恒量不变量

那么我们把这个整理出来这就是伯努利方程

我们通常把这个压强呢称为静压

把1/2V2称为动压

两者之和呢称为总压

下面我们就给大家介绍几个

伯努利方程应用的实例

首先介绍这个等高流管的情况

这个装置图是这样的

大家看上面有一个流管

里面通有气体

那么这个流管的特点是有一部分非常细

那么我们知道这个理想流体做定常流动的话

那么对于一个细流管而言呢

这个粗的地方流速小 细的地方流速大

这个情况就是这样这地方细的话

它的流速就会大

那么根据伯努利方程

既然这个地方流速大的话

那么它对应的压强就小

2的位置压强小的话那么液体就可以被压上来

从这个位置被压上来

压出来之后呢那么气体把它吹出去

这个就是我们的喷雾器的原理

当然呢我们可以用流水来把气体抽出来

那个原理呢就是把这个装置中的流体

和这个气体的角色互换一下

这个是气体流动把液体抽出来

这个水流抽气机呢是流体流动把气体抽出来

他们俩的角色互换一下就可以

这是等高流管的情况

下面我们看看怎么测量这个流速

皮托管测流速

先给大家介绍一个概念叫驻点的概念

当这个流体运动到一个障碍物前端的时候呢

这个障碍物前端某一点处流体是静止不动的

这一点呢就称为驻点

比如说这个图上的A这个点就是驻点

显然驻点处的压强就是总压

那么根据这一点呢我们就可以

设计一个装置用来测流速

最简单的皮托管呢

就是用一个细管弯成直角状

然后把它伸到流体当中

那么就可以来测量流速

只要把这个液面的高度测出来了

流速就出来了

为什么呢

大家注意弯成直角弯的这个管呢

它的这个直角弯处呢就是一个驻点

所以这点处的压强啊就是总压

这个总压和远处流体的静压的差呢

恰恰是通过这个高度差来反映的

所以我们再根据这个伯努利方程

就可以得到这个远处的流体的流速呢

就等于根号2gh

这是皮托管测流速的方法

第三个我们给大家介绍汾丘里流量计

用来测量这个体积流量的一个装置

这个装置的特点就是有一个主管有一个细管

这个细管的截面半径小

所以这个地方的这个流速大

主管的截面半径大呢它的流速小

流速小的地方呢根据伯努利方程啊

它对应的这个压强就大

流速大的地方对应的压强就小

它们之间的压强差呢就可以通过

这两个细管当中液体的液面的高度差来反映

就是通过这个h

那么我们把这些方程列一下

这是伯努利方程

主管处的总压等于细管处的总压

然后它们的压强差呢静压强差呢

通过这个细管中的这个液面的高度差来反映

这个体积流量呢是不变的

就是v1S1=v2S2=Qv

通过这三个方程联立呢我们可以把Qv求出来

Qv就是最后跟这个两个细管当中的液面的

高度差开方有关

所以我们只要测的这个高度差呢

最后就可以得到体积流量

当然设计的时候

这个粗管和细管这些参量都不变的

要变的只可能是这个高度差

这是对于理想流体

实际流体呢都有一定的粘滞性

那么测这个体积流量的时候需要做一个修正

就是在这个公式上

乘以一个小于1的修正量就可以

最后我们给大家介绍一个弧旋球的原理

弧旋球本身这个运动过程是很复杂的

那么我们考虑下面两点之后呢

可以使用伯努利方程做一个粗略的分析

这两点是什么呢

就是要考虑空气的粘滞性

考虑空气的粘滞性之后呢

那么可以出现空气环流

当这个球体转动的时候呢

它周围可以出现空气环流

第二点需要考虑的就是我们做分析的时候

必须选择相对球体静止的这个参考系来做分析

因为在这个参考系当中

看的话 观察的话

它周围的流体才是近似做定常流动

我们把图画出来

就是在相对球静止参考系去观察

这个过程是什么样子呢

一开始有气流流过是定常流动的

那么当球体转起来之后呢

在这个参考系内看到

这个球体是不做平动的只做转动

那么当它转动起来之后呢

由于空气的粘滞性它就会带动周围的空气旋转

这样它就会形成一个空气的环流

这个环流啊叠加到原来的气流上

最后的结果是这样的

上面呢空气流动的速度比较慢

底下空气流动的速度快

那么根据伯努利方程我们知道

流速慢的地方压强要大

流速快得地方压强要小

这样就会导致球体受到一个向下方的力

受这个力的作用呢

这个球最后的运动轨迹呢

会偏离原来的直线方向

所以实际的运动轨迹是这样的

红的箭头所示

这就是弧线球的原理

我们关于整个功和能部分的内容

就学习到这里 谢谢大家