当前课程知识点:光学 > Chapter 1 General Property of Wave(波的一般性质) > 1.10 Plane Wave and Spherical Wave 平面波与球面波 > 1.10 Plane Wave and Spherical Wave
大家好 今天的话是
这一章最后的一部分内容
前面我们所讨论的
都是一维的情况下
一个波如何传播
得到的简谐波的形式
或者Euler's formula给出来的复数的表达形式
这一节开始
我们要讨论
三维的 更广泛意义上的
三维的波的形式
所以我们是
3-D
wave forms
波的形式
在三维中的情况
那么三维中的波函数就更复杂了
它的波动方程
是这样子一个东西
v2还是一样代表波速
对时的变化
对空间的变化
只不过Δ2
这样子一个算符的表达的含义
是偏x的平方
这叫Laplace
那么它的一般的解
还是可以用Harmoic wave来表示
那么Harmoic wave来讲
即使是Harmoic wave在这里面的话
也有一些标准的一些形式
我们就讨论一些特殊的解
其中一个的形式
Harmoic的形式 我们称之为
plane-wave
也就是平面波
它的解的形式是这个样子的
在三维中Ψ(r, t)
这个r代表空间的位失
t代表时间
那么它是振幅
我写成复数的表达形式e∧i(k·r-ωt+Φ0)
一个初始的一个位相
为什么有一个plane-wave
第一这个振幅
并不随着空间
或者时间而改变
这是一个常数
第二这个k·r
所谓的等位相面会是一个什么面
我们会发现这是一个平面
形象的画出来的话
一个平面波是这样子的一个波
它的传播方向会沿着k
这个k是一个矢量
所以称之为wave vector
这种三维的情况下
它变成了一个矢量
一维情况下只是一个数值2π/λ
当然有正有负
那么它的等位相面
比如在某一时刻
我画波的时候只能画
把时间固定
来看它空间的变化
它的等位相面将是这样子的一个平面
垂直于k
比如说这是位相等于
Φ等于0的平面
在这一时刻
这是Φ等于π的平面
这是Φ等于2π的平面
都是这样子的一个一个的平面
垂直于这个k
能不能证明呢
当然可以证明
比如说在固定的某一时刻
要求等位相面
空间上面的等位相面
为什么它是一个平面
那就是k·r
如果是一个等位相面
要求这个位相是一个常数
就k·r是等于一个常数c
那么这样子的一个关系式
所代表着空间中的平面是什么
我希望大家还没有忘记
在高微中或者解析几何中所学到的
一个Kx x + Ky y + Kz z
等于一个常数c
这样子的x y z
所构成的空间
是什么样一个东西
这是一个平面
这个平面x y z
组成了一个平面
满足这样子关系式的x y z组成了一个平面
这个平面将垂直于k所代表的这个方向
画一下的话也很容易说明
比如说
我这边有一个曲面
这里面的话我取一个
这叫r1
这个叫r2
我要求k·r1
现在等于一个常数
在这个面上
这个面不一定是平面的
k·r2也是一个常数
那么自然就会有
k·(r2-r1)
是0
r2-r1是什么含义
是这样子的一个东西
r2-r1是这样子
或者叫r2-r1
我叫做k·r等于0这个地方
这个r我叫Δr
很明显我这个Δr和K等于0
那意味着我K是什么一个方向
我K一定是垂直于
这个Δr的方向的
我这个r2 r1可以任选
也就意味着我组成这个曲面的话
所构成的这个位失的话
都要垂直于一个常矢量k
这个矢量k是给定的
那么这样子的一个平面是什么样一个平面
当然只是一个平面了
这样一个曲面是什么一个面
当然就是一个平面了
是垂直于k的一个平面
所以的话我们这里面r
所谓的不同的这些r所构成的这个曲面
就是垂直于给定的这个矢量k
的一个平面
所以因此我们管它叫做平面波
这也是为什么我们叫它平面波
它的等位相面
用这样的数学的关系式来给出
它的等位相面是一个平面
垂直于k的方向
所以这是平面波
第二个的话 我们经常用到的波的形式
在三维情况下用到的波的形式
是球面波
当然还有其他复杂的波的形式
只不过我们说通常的情况下
我们可以制备平面波和球面波
来作为研究用
所以我们也主要来讨论平面波和球面波
那么球面波的表达形式比较简单
Ψ(r,t)
它是一个常数a/r e∧i(k·r-ωt+Φ)
这个k只是一个数值
k等于波矢量的大小
那么具体的
图像是这个样子的
这是一个点光源所发出来的光
如果是四面八方所发出来
各项同性
所以它的等位相面
将是一个一个的球面
比如说在某一个时刻t=0的时候
我要求k·r+Φ是个常数
那k·r是一个常数
那所代表的这个r
自然是这一个一个的球面
所以k·r等于常数
这意味着r是这样子一个一个的球面
所以我们称之为球面波
那么振幅这一部分
随着我传播的距离的增加
我振幅来讲的话
是要进行衰减的
这一部分的话
衰减也是有道理的
这是跟能量守恒联系在一起的
将来的话我们会看到
这个能量的话
或者叫energy 能流
是正比于
振幅的平方的
所以要跟r2 a2比
但是我整个的这个球面积
随着r来讲的话
这个面积是πr2增加的
因此我能流乘上面积
这个的数值
并不随着我距离的增加而改变
换句话说
这也就是为什么
我这个振幅
随着距离的增加必须要进行衰减
否则的话我能流乘上面积这个数值就会改变
它就有可能违背我的能量守恒的规律
因此能量守恒的规律要求
我这边的振幅
要随着距离的增加而衰减
而这一部分的话
体现出来我的等位相面
是一个一个的球面
因此我们把这样子的波
称之为球面波
球面波和平面波
这两种特殊的
在三维情况下的简谐波的形式
将是我们在这门课中
所讨论的重点
好 第一章到此就讲完了
-1.0 History of Optics 光学的历史发展
-1.1 Why Classical Wave Theory is Correct 经典理论为何正确
--1.1 Why Classical Wave Theory is Correct
-1.2 Wave and Wave Equation 波和波动方程
-1.3 Harmonic Wave 简谐波
-1.4 Phase Velocity and Phase Difference 相速度与相位差
--1.4 Phase Velocity and Phase Difference
-1.5 Superposition Principle 叠加原理
--1.5.1 Superposition Principle Part I
--1.5.2.Superposition Principle Part II
-1.6 Example of Superposition and Reciprocal Relation 叠加例子与反比关系
--1.6 Example of Superposition and Reciprocal Relation
-1.7 Euler Formula and Phasor 波的复数表达和旋转矢量表示
--1.7 Euler Formula and Phasor
-1.8 Doppler Effect 多普勒效应
--1.8.2 Doppler Effect Part II
-1.9 Doppler Broadening 多普勒展宽
-1.10 Plane Wave and Spherical Wave 平面波与球面波
--1.10 Plane Wave and Spherical Wave
-第一章习题
--习题
-2.1 Maxwell Equations(Maxwell 方程组)
-2.2 Wave Equation for E-M Field(电磁场的波动方程)
--2.2 Wave Equation for E-M Field
-2.3.1 Index of Refraction(折射率)
-2.3.2 Understanding n from Dipoles(用偶极模型理解折射率)
--2.3.2 Understanding n from Dipoles
-2.4 E-M Wave is Transverse(电磁波是横波)
-2.5 Energy Flow of E-M Wave(电磁波的能流)
-2.6 Momentum and photo-Pressure(动量和光压)
--2.6 Momentum and photo-Pressure
-2.7.1 Dipole Oscillator 1(偶极振子1)
-2.7.2 Dipole Oscillator 2(偶极振子2)
-2.8 Radiation by Dipole Oscillator(偶极振子的辐射)
--2.8 Radiation by Dipole Oscillator
-第二章习题
--习题
-3.1 Reflection and Refraction (反射与折射)
--3.1 Reflection and Refraction
-3.2 Huygens Principle(惠更斯原理)
-3.3.1 Fermat Principle part1: Optical Path Length (费马原理第一部分:光程)
--3.3.1 Fermat Principle part1: Optical Path Length
-3.3.2 Fermat Principle part2: an Explanation (费马原理第二部分:一种解释)
--3.3.2 Fermat Principle part2: an Explanation
-3.4.1 Scattering Point of View 1 (散射图像1)
--3.4.1 Scattering Point of View 1
-3.4.2 Scattering Point of View 2 (散射图像2)
--3.4.2 Scattering Point of View 2
-3.5 Reflection and Refraction Rules Derived from Boundary Conditions of Maxwell Equations(利用Maxwell方
--3.5 Reflection and Refraction Rules Derived from Boundary Conditions of Maxwell Equations
-3.6.1 The Basic problem and Setup of Coordinates (基本问题和坐标系的建立)
--3.6.1 The Basic problem and Setup of Coordinates
-3.6.2 The Reflection and Transmission Coefficients (发射与透射系数)
--3.6.2 The Reflection and Transmission Coefficients
-3.6.3 Discussion on Amplitude of the Coefficients (对系数大小的讨论)
--3.6.3 Discussion on Amplitude of the Coefficients
-3.6.4 Discussion on Phase of the Coefficients (对系数位相的讨论)
--3.6.4 Discussion on Phase of the Coefficients
-3.7 Stokes Relation and Half Wavelength Difference (Stokes关系式和半波损)
--3.7 Stokes Relation and Half Wavelength Difference
-第三章习题
--习题
-4.1 Introduction(几何光学介绍)
-4.2 Important Jargons(重要的术语)
-4.3.1 Image formation by Spherical Surface and Paraxial Approxiamation(球面成像和傍轴近似)
--4.3.1 Image formation by Spherical Surface and Paraxial Approxiamation
-4.3.2 Image Formation Formula(成像公式)
--4.3.2 Image Formation Formula
-4.3.3 Example and Transverse Magnification(例题和横向放大率)
--4.3.3 Example and Transverse Magnification
-4.4 Thin Lens(薄透镜)
-4.5 Thick Lens(厚透镜)
-4.6.1 Matrix Treatment 1: Matrix for Propagation and Refraction(矩阵处理1:表示传播与折射的矩阵)
--4.6.1 Matrix Treatment 1: Matrix for Propagation and Refraction
-4.6.2 Matrix Treatment 2: Lens Matrix(矩阵处理2:透镜矩阵)
--4.6.2 Matrix Treatment 2: Lens Matrix
-4.6.3 Matrix Treatment 3: Relations between Matrix Elements and Cardinal Points(矩阵处理3:矩阵元与主点的联系)
--4.6.3 Matrix Treatment 3: Relations between Matrix Elements and Cardinal Points
-第四章习题
--习题
-5.0 What is Interference(什么是干涉)
-5.1.1 Superposition of Waves: General Case(波叠加的通式)
--5.1.1 Superposition of Waves: General Case
-5.1.2 Adding Wave with Same Frequency and Direction(同频同向波的叠加)
--5.1.2 Adding Wave with Same Frequency and Direction
-5.1.3.1 Standing Wave 1 (驻波(上))
-5.1.3.2 Standing Wave 2 (驻波(下))
-5.1.4.1 Adding Waves with Different Frequencies 1: Beat and Group Velocity(不同频率波的叠加(上):拍和群速度)
--5.1.4.1 Adding Waves with Different Frequencies 1: Beat and Group Velocity
-5.1.4.2 Adding Waves with Different Frequencies 2: Continuous Frequency Spectrum(不同频率波的叠加(中):连续的频谱)
--5.1.4.2 Adding Waves with Different Frequencies 2: Continuous Frequency Spectrum
-5.1.4.3 Adding Waves with Different Frequencies 3: property of Wave Packet and Reciprocal Relation(不
--5.1.4.3 Adding Waves with Different Frequencies 3: property of Wave Packet and Reciprocal Relation
-5.2.1 Interference of Two Point Sources and Coherent Condition(两个点源的干涉和相干条件)
--5.2.1 Interference of Two Point Sources and Coherent Condition
-5.2.2 Young's Double-Slits Experiment(杨氏双缝干涉实验)
--5.2.2 Young's Double-Slits Experiment
-5.2.3 Another Treatment of Young's Interference, Paraxial and Far-field Condition(杨氏干涉的另一种处理,傍轴和远场条
--5.2.3 Another Treatment of Young's Interference, Paraxial and Far-field Condition
-Chapter 5 Interference and Coherence(Part 1)--第五章习
-5.3.0 Interference by Thin Film(薄膜干涉)
--5.3.0 Interference by Thin Film
-5.3.1 Equal Thickness Fringe(等厚干涉条纹)
--5.3.1 Equal Thickness Fringe
-5.3.2 Equal Inclination Fringe(等倾干涉条纹)
--5.3.2 Equal inclination Fringe
-5.3.3 Michelson Interferometer(Michelson干涉仪)
--5.3.3 Michelson Interferometer
-5.4.0 Multibeam Interference(多光束干涉)
--5.4.0 Multibeam Interference
-5.4.1.1 Derivation 1(理论推导(上))
-5.4.1.2 Derivation 2(理论推导(下))
-5.4.2.1 Discussion(结论与讨论)
-5.4.2.2 Application: F-P Interferometer(应用:F-P 干涉仪)
--5.4.2.2 Application: F-P Interferometer
-5.5.0 Coherence Theory(相干理论)
-5.5.1 Spatial Coherence(空间相干性)
-5.5.2.1 Temporal Coherence(时间相干性)
-5.5.2.2 Coherent Time and Length(相干时间和相干长度)
--5.5.2.2 Coherent Time and Length
-5.5.3.1 Definition of Correlation Function(关联函数定义)
--5.5.3.1 Definition of Correlation Function
-5.5.3.2 Correlation Function and Coherence(关联函数与相干)
--5.5.3.2 Correlation Function and Coherence
-第五章习题(下)
--习题
-6.1 basic problem in diffraction(衍射的基本问题)
--6.1 basic problem in diffraction
-6.2.1 Huygens-Fresnel Principle and Kirchhoff Euation(惠更斯-菲涅耳原理和基尔霍夫方程)
--6.2.1 Huygens-Fresnel Principle and Kirchhoff Euation
-6.2.2 Fresnel and Fraunhoffer Diffraction(菲涅耳与夫琅和费衍射)
--6.2.2 Fresnel and Fraunhoffer Diffraction
-6.3.1 Fresnel Diffraction 1: Half Wavelength Plate(菲涅耳衍射1:半波带法)
--6.3.1 Fresnel Diffraction 1: Half Wavelength Plate
-6.3.2 Fresnel Diffraction 2: Phasor Method(菲涅耳衍射2:旋转矢量法)
--6.3.2 Fresnel Diffraction 2: Phasor Method
-6.3.3 Fresnel Diffraction 3: Opaque Disk and Babinet Principle(菲涅耳衍射3:圆屏衍射和Babinet原理)
--6.3.3 Fresnel Diffraction 3: Opaque Disk and Babinet Principle
-6.3.4 Fresnel Diffraction 4: Fresnel Zone Plate(an application)(菲涅耳衍射4:菲涅耳波带片(一个应用))
--6.3.4 Fresnel Diffraction 4: Fresnel Zone Plate(an application)
-6.4.0 Fraunhoffer Diffraction: General Expression(夫琅和费衍射1:普遍表达形式)
--6.4.0 6.4.0 Fraunhoffer Diffraction: General Expression
-6.4.1.1 Single Slit Fraunhoffer Diffraction(单缝夫琅和费衍射)
--6.4.1.1 Single Slit Fraunhoffer Diffraction
-6.4.1.2 Characteristic of Single Slit Case(单缝衍射的特点)
--6.4.1.2 Characteristic of Single Slit Case
-6.4.2 Fraunhoffer Diffraction for Rectangular Window(矩形窗口的夫琅和费衍射)
--6.4.2 Fraunhoffer Diffraction for Rectangular Window
-6.4.3.1 Fraunhoffer Diffraction for Circular Aperture(圆孔的夫琅和费衍射)
--6.4.3.1 Fraunhoffer Diffraction for Circular Aperture
-6.4.3.2 Diffraction Limit on Resolution(分辨率的衍射极限)
--6.4.3.2 Diffraction Limit on Resolution
-第六章习题(上)
--习题
-6.5.1 Fraunhoffer Diffraction for 2-slits Case(双缝夫琅和费衍射)
--6.5.1 Fraunhoffer Diffraction for 2-slits Case
-6.5.2.1 Multi-slits Dffraction 1: Intensity distribution(多缝衍射1:光强分布)
--6.5.2.1 Multi-slits Dffraction 1: Intensity distribution
-6.5.2.2 Multi-slits Diffraction 2: Interference between Slits and Principal maxima(多缝衍射2:缝间干涉和主极大)
--6.5.2.2 Multi-slits Diffraction 2: Interference between Slits and Principal maxima
-6.5.2.3 Multi-slits Diffraction 3: Missing Order and Examples(多缝衍射3:缺级与例题)
--6.5.2.3 Multi-slits Diffraction 3: Missing Order and Examples
-6.5.3.1 Grating Spectrometer(光栅光谱仪)
--6.5.3.1 Grating Spectrometer
-6.5.3.2 Dispersion Relation of Grating Spectrometer(光栅光谱仪的色散关系)
--6.5.3.2 Dispersion Relation of Grating Spectrometer
-6.5.3.3 Dispersion Power and Resolution(色散能力和分辨率)
--6.5.3.3 Dispersion Power and Resolution
-6.5.3.4 Free Spectral Range(自由光谱程)
-第六章习题(下)
--习题
-7.0 introducing Fourier expansion and transform(介绍傅里叶展开与变换)
--7.0
-7.1.1 Fourier transform for periodic functions(周期函数的傅里叶展开)
--7.1.1
-7.1.2 examples on Fourier expansion(傅里叶展开的例子)
--7.1.2
-7.2.1 Fourier transform for general functions(一般函数的傅里叶变换)
--7.2.1
-7.2.2 Fourier transforms of some typical functions and relation on width distribution(一些典型函数的傅里叶变换和分
--7.2.2
-7.3.1 Dirac delta function(狄拉克delta函数)
-7.3.2 Fourier transform of the delta function(delta函数的傅里叶变换)
--7.3.2
-7.4.1 properties of Fourier transform(傅里叶变换的性质)
--7.4.1
-7.4.2 Fourier transform of derivatives(函数导数的傅里叶变换)
--7.4.2
-7.4.3 what is convolution between functions(函数的卷积是什么)
--7.4.3
-7.4.4 Fourier transform of convolution(卷积的傅里叶变换)
--7.4.4
-7.5 relation between fourier transform and Fraunhoffer equation(傅里叶变换与夫琅禾费衍射之间的关系)
--7.5
-7.6 Abbe image formation(阿贝成像原理)
--7.6
-Chapter 7--第七章习题
-8.1 what is polarization(什么是偏振)
--8.1
-8.2.1 how to express polarization state(如何表达偏振态)
--8.2.1
-8.2.2 unpolarized and partial polarized light(非偏振态和部分偏振态)
--8.2.2
-8.3 linear polarizer(线偏振片)
--8.3
-8.4.1.1 Jones vector(Jones 矢量)
--8.4.1.1
-8.4.1.2 Transformation of Jones Vector(Jones 矢量的变换)
--8.4.1.2
-8.4.2 Jones matrix(Jones 矩阵)
--8.4.2
-第八章(上)习题
--习题
-8.5.1 Birefringence and a simple illustration
--8.5.1 Birefringence and a simple illustration
-8.5.2 Ordinary and Extraordinary light
--8.5.2
-8.5.3 Typical Examples
--8.5.3
-8.6.1 application 1-linear polarizer
--8.6.1
-8.6.2.1 application 2-quarter wave plate
--8.6.2.1
-8.6.2.2 application 2-change polarization state by quarter wave-plate
--8.6.2.2
-8.6.2.3 application2-change direction of polarization by half-plate
--8.6.2.3
-8.7.1
--8.7.1
-8.7.2
--8.7.2
-8.7.3
--8.7.3
-8.7.4
--8.7.4
-8.8.1
--8.8.1
-8.8.2
--8.8.2
-8.8.3
--8.8.3
-第八章(下)习题
--习题
-期末测试
--期末测试