当前课程知识点:光学 > Chapter 7 > 7.3.1 Dirac delta function(狄拉克delta函数) > Video7.3.1
前面的话我们讲傅里叶变换的时候
给出来一个它的通用的性质
也就是说
它在x空间如果分布越宽
那么它在k空间的δ(k)也就越窄
反比关系 反之亦然
δ(k)越宽δ(x)也就越窄
那么问一个问题
一个极限的情况
如果我在x空间的分布δ(x)趋于无穷的
比如说我们在讲这个cos的函数
周期性的函数
那么它在空间中的分布就是趋于无穷的
那么它在频谱空间中δ(k)的分布将会怎么样
因为这样的反比关系
它应该趋于零了
这样的话它们两个乘在一起
才可能得到那样的一个反比关系式
所以对于这种δ(x)如果趋于无穷
那么它的频谱空间中就会出现所谓的单频
无穷窄的这样一个频谱的信息
那么我们怎么表示这个无穷窄的频谱的信息呢
我们要借用一个特殊的函数
这个函数在物理中非常的有用
是由狄拉克首先引进来的
所以称之为狄拉克δ函数
所以这部分是我讲的
在讲到傅里叶变换的时候自然会引入一个叫δ函数
这个函数的话是由狄拉克引出来的
所以叫狄拉克δ function
我们首先给出这个δ function的定义
然后的话再讨论物理上为什么那么有用处
那么它的definition
是这样的一种分布
实际上的话这个function严格讲的话
数学家认为它不是一个太好的或者理想的function
它这样的一个东西 画的话也很难画出来
这是x 我们来画一下δ(x) 它是什么东西
只有在x等于零的地方 它无穷大
画一个箭头意味着它还在往上走
它是无穷大
但是它的宽度来讲的话它是无穷窄
所以δ(x)这么一个东西
它在x等于零的时候是无穷
它的其他的地方都是零而且是无穷窄的
这是一个
另外的一个的话 也是定义的一部分
叫归一化
如果我δ(x)对于全空间取一个积分的话
这个积分要是个定值
这个在x等于零的地方
这个δ函数虽然是无穷大
换句话说没有一个定值
但是我要求的这个积分因为高是无穷高
但窄却是无穷窄
这两个积分来讲的话
这个是定值
这个定值我们称之为1
这就是δ函数或者叫δ distribution δ分布函数
之所以叫分布分数呢
为什么
它在物理中的话
很多的分布没有一个δ函数来表示的
比如说一个在物理中用到这个δ函数的有哪些情况
比说一个mass point一个质点
你要知道质点的含义的话
这个模型来讲的话
它在空间上是没有一个分布宽度的
在这一点上质量为质量
那么实际上来讲的话
质点这个模型的话我就可以用δ函数来表示
δ函数代表了我这个质点的一个密度的分布
那么如果它的mass等于1
这个1只是个单位
你可以1千克
如果你用的单位是千克那就1千克
如果单位用克那就1克
如果质量为1的这样的一个质点
那我就用一个δ函数来表示了
积分起它的密度来讲的话就是δ函数
那么density 那么ρx
就是一个δ函数 这样对空间的积分它是1
在空间上分来讲的话只在一点上有而且密度无穷大
那么其他地方的话没有
所以作为一个质点
我们会发现用δ函数来描述它
还有另外的话只要是这种点状的东西
我都要用δ函数point charge
电荷
如果它的带电量q也是一个单位库伦
或者其他的高斯单位等等一个单位
那么它的点电荷分布的这个密度
这个电荷的这个密度ρx
这是电荷的密度
它也是一个δ函数点电荷
那我们所谓的单色的波
或者叫monochromatic wave
这是理想的情况下单色的波
它的频谱上来讲只在这个地方有频率其他的频率没有
如果它的这个总的频谱的话要求它有一定的限度
那么它的频谱分布的这个函数就是一个δ函数
比如说δ(k0)
只在k0这个地方有值
其他都是零 这是个单色波
所以我们看这样子的一个奇异的函数
或者叫singularity的函数
singular的函数这样的一个函数的话
在物理上很多的模型是要用到它的
这也是为什么我们要引入这样一个狄拉克的δ函数
那么下面来看的话我们要讨论一下这个δ函数
δ函数这样定义并不是它最有用的部分
最有用的部分δ函数是它和其它函数作用到一起的时候
所以我们来看一下 the most
最重要的
这个δ函数的action作用
作用在什么 作用在其他函数上
跟其他函数联合作用
因为我们很少单独的应用这个δ函数
因为尽管我们提出质点的模型
提出点电荷的模型
提出单色波的模型
但在物理上来讲的我们都是讨论一个实际的一个物体
但是实际的物体我可以给它看成一个质点的集合
可以看成点电荷的集合
可以看成单色波的集合
所以在这种时候都是一个δ函数和其他的函数的作用
所以我们要讨论的是δ函数和其他函数作用到一起会有什么
但是利用δ函数这样定义的
我们可以很容易推出来很重要的δ函数的一些性质
主要是比如说一个δ函数和另外的一个函数f(x)作用在一起
我们会得到一个什么东西
我们看一看这个东西
做积分 我们会发现
因为在这个积分的话
如果x偏离于零 那么δ函数是零
零乘上这东西都是零
所以x偏离零的话
我这个积分项的话是零
只有当x逼近零
比如说让x等于零的时候
那我这一项回事f(0)
当然这个积分的时候的话
这是个无穷大乘上这个东西
但是我们利用到δ函数这个归一化的性质
负无穷 正无穷
实际上这个负无穷正无穷的话可以化为
在这个地方我会给它变成
这个负无穷正无穷有效的话就是零
比零小一点的地方
和比零大一点点的地方
这个ε是个无穷小的值
在这个时候的话
我的一个δ函数和这边
但是x的话只是在零
比零小一点和比零大一点
这个f(x)的取值就变成一个常数
变成f(0)
当然这个地方的话要求这个函数是regular
是普通的一个函数 是连续的
在x等于0的地方是连续的
那么我利用连续性的话 我可以知道
这边的f(x)在这样的一个积分中
我可以给它看成一个常数f(0)
这样我就可以给它提出到我这个积分式子中来
那我这个积分式子的话就变成δ(x)对dx积分
利用这样的一个定义
我就立刻就会得到
这个东西等于f(0)
这是利用我们所谓的δ函数的性质来看
δ函数跟其他的函数作用在一起的积分的形式是什么
那么它的含义是什么
这一部分的话等于这个
把这个式子写这了
这就意味着我原来有这么一个函数
这个函数叫f(x)
我现在用δ(x)给它 dx这个积分得写
δ(x)作用在上头的话
我相当于把什么挑出来 只把f(0)挑出来
所以这个东西的话比如f(0)在这
这是f(0)
δ(x)和这个函数作用这代表我来画一个这代表δ(x)
δ(x)多用这一个带有数值的箭头
δ(x)跟这个f(x)一作用
它挑出来了f(0)
所以这个东西的话有时候也称之为sampling取样
这个的作用称之为取样的作用
δ(x)和这个函数
任意的一个函数作用
我就把分f(0)这个值给挑出来
那么另外的一个的话 跟这完全类似
如果我不用δ(x)用一个叫shifted δ(x)
它的中心是在x0的话 那它和f(x)作用
在这个过程的话 dx这很简单了
这相当于一个shifted δ(x)
δ(x)它的中心现在是在x=x0的地方
它是无穷大
在这个附近取积分来讲的话 它等于1
那这个东西自然等于f(x0)
我画的是在这个地方它会把f(x0)个挑出来
这个叫做sampling action
这两个作用
所以这个关系式和这个关系式
我们会经常用到的δ函数和其他的函数作用在一起
另外的一个的话完全也是类似的话
但是这一部分的话就是如果我们叫这部分称之为卷积
但是卷积我现在还有严格的来进行定义
所以这个地方我们只把它当作一个术语
换句话说也就是如果我们让这个东西变了
对这个东西做积分
我相当于把δ(x)让它这个x0是可以变的
从x0等于任意的值
每一个的值这样子的选出来
那我会发现我一定的话是把整个的函数选出来了
所以好像我们把所有的点都给取样了
那么这个东西的话
这个的含义数学上的表达形式是这样子的一个积分
δ(x-x`) x0不是一个固定的值 而是一个变的东西
f(x')对所有的dx'来进行积分
这个东西得到什么东西很简单了
只有当x'等于x的时候这个东西才不是0
所以自然我积分出来的几个结果就是我的f(x)
这个东西的话我们还有一个说法就是
任何一个函数和δ函数的卷积这部分我们以后在定义
卷积其实的话就是这样的一个定义给出来的
任何一个函数和δ函数卷积的话就得到这个函数的本身了
所以这些的性质来讲的话是相当直截了当的
只是从我们的定义出发就可以推出来的也相对比较直观好记的
那么还有其他的一些δ函数的性质
或者other properties of δ function
这些没有我们所说的这样子的δ函数
跟其他函数的作用那么重要
但是这也是可以从它的定义直观的看出来
或者说简单的证明
可以证出来的
是我的δ(x)它是个偶函数
另外的一个的话这些我都没有证明
如果有兴趣的话大家可以看一下教材
或者是自己来验证一下
这叫伸缩的一个定理
如果是ax
我把这个x这个变量的话进行了伸或者缩
a如果大于1叫做伸 a小于1叫缩
那么我整个的δ函数的
也会跟原来的δ函数之间存在这样的一个关系式
第三个的话是我们定义了δ函数
那么δ函数导数是什么东西
δ`(x)是什么
这个东西的话它的定义是要看这个δ函数的导数
跟其他作用在一起以后
得到的效果是什么
这个才是 否则光看这个东西的导数的话
一个无穷的东西的话
一定是由一个不连续的或者讨厌的地方
但是它跟其他的函数作用在一起的时候的话
它的性质是比较明确的
所以δ`(x)如果和我任意的一个函数作用在一起
这样的一个积分的形式
在这一部分的话我们是可以知道它是什么东西的
只不过这一部分证明用到分部积分的方法
大家可以尝试自己去分部积分证一下
当然这有一个前提的话是我的函数相对规律
在负无穷正无穷的地方如果是f(x)等于0
这个f(x)是个有界的函数
x趋于正无穷负无穷的时候我的f(x)等于0
必然有这样的一个关系
我的δ函数的导数作用在任意的一个函数上
相当于我对这个函数求导
然后在x等于0的地方取值
中间还有一个负号
这个负号的话是由于分部积分而带来的
所以大家可以通过分部积分的方式来证明这样一个性质
这就是关于δ函数其他的一些性质
但是我们强调的话δ函数的定义是什么样子的
它在物理上的图像是什么样子的
点电荷 质点 单色波 等等这样的理想的情况
都涉及到一个这样的δ函数
另外很重要的就是函数的性质
是它和其他的函数作用在一起
特别是积分这样作用形式sampling convolution
这些的东西是我们以后会用到的△函数的一些性质
-1.0 History of Optics 光学的历史发展
-1.1 Why Classical Wave Theory is Correct 经典理论为何正确
--1.1 Why Classical Wave Theory is Correct
-1.2 Wave and Wave Equation 波和波动方程
-1.3 Harmonic Wave 简谐波
-1.4 Phase Velocity and Phase Difference 相速度与相位差
--1.4 Phase Velocity and Phase Difference
-1.5 Superposition Principle 叠加原理
--1.5.1 Superposition Principle Part I
--1.5.2.Superposition Principle Part II
-1.6 Example of Superposition and Reciprocal Relation 叠加例子与反比关系
--1.6 Example of Superposition and Reciprocal Relation
-1.7 Euler Formula and Phasor 波的复数表达和旋转矢量表示
--1.7 Euler Formula and Phasor
-1.8 Doppler Effect 多普勒效应
--1.8.2 Doppler Effect Part II
-1.9 Doppler Broadening 多普勒展宽
-1.10 Plane Wave and Spherical Wave 平面波与球面波
--1.10 Plane Wave and Spherical Wave
-第一章习题
--习题
-2.1 Maxwell Equations(Maxwell 方程组)
-2.2 Wave Equation for E-M Field(电磁场的波动方程)
--2.2 Wave Equation for E-M Field
-2.3.1 Index of Refraction(折射率)
-2.3.2 Understanding n from Dipoles(用偶极模型理解折射率)
--2.3.2 Understanding n from Dipoles
-2.4 E-M Wave is Transverse(电磁波是横波)
-2.5 Energy Flow of E-M Wave(电磁波的能流)
-2.6 Momentum and photo-Pressure(动量和光压)
--2.6 Momentum and photo-Pressure
-2.7.1 Dipole Oscillator 1(偶极振子1)
-2.7.2 Dipole Oscillator 2(偶极振子2)
-2.8 Radiation by Dipole Oscillator(偶极振子的辐射)
--2.8 Radiation by Dipole Oscillator
-第二章习题
--习题
-3.1 Reflection and Refraction (反射与折射)
--3.1 Reflection and Refraction
-3.2 Huygens Principle(惠更斯原理)
-3.3.1 Fermat Principle part1: Optical Path Length (费马原理第一部分:光程)
--3.3.1 Fermat Principle part1: Optical Path Length
-3.3.2 Fermat Principle part2: an Explanation (费马原理第二部分:一种解释)
--3.3.2 Fermat Principle part2: an Explanation
-3.4.1 Scattering Point of View 1 (散射图像1)
--3.4.1 Scattering Point of View 1
-3.4.2 Scattering Point of View 2 (散射图像2)
--3.4.2 Scattering Point of View 2
-3.5 Reflection and Refraction Rules Derived from Boundary Conditions of Maxwell Equations(利用Maxwell方
--3.5 Reflection and Refraction Rules Derived from Boundary Conditions of Maxwell Equations
-3.6.1 The Basic problem and Setup of Coordinates (基本问题和坐标系的建立)
--3.6.1 The Basic problem and Setup of Coordinates
-3.6.2 The Reflection and Transmission Coefficients (发射与透射系数)
--3.6.2 The Reflection and Transmission Coefficients
-3.6.3 Discussion on Amplitude of the Coefficients (对系数大小的讨论)
--3.6.3 Discussion on Amplitude of the Coefficients
-3.6.4 Discussion on Phase of the Coefficients (对系数位相的讨论)
--3.6.4 Discussion on Phase of the Coefficients
-3.7 Stokes Relation and Half Wavelength Difference (Stokes关系式和半波损)
--3.7 Stokes Relation and Half Wavelength Difference
-第三章习题
--习题
-4.1 Introduction(几何光学介绍)
-4.2 Important Jargons(重要的术语)
-4.3.1 Image formation by Spherical Surface and Paraxial Approxiamation(球面成像和傍轴近似)
--4.3.1 Image formation by Spherical Surface and Paraxial Approxiamation
-4.3.2 Image Formation Formula(成像公式)
--4.3.2 Image Formation Formula
-4.3.3 Example and Transverse Magnification(例题和横向放大率)
--4.3.3 Example and Transverse Magnification
-4.4 Thin Lens(薄透镜)
-4.5 Thick Lens(厚透镜)
-4.6.1 Matrix Treatment 1: Matrix for Propagation and Refraction(矩阵处理1:表示传播与折射的矩阵)
--4.6.1 Matrix Treatment 1: Matrix for Propagation and Refraction
-4.6.2 Matrix Treatment 2: Lens Matrix(矩阵处理2:透镜矩阵)
--4.6.2 Matrix Treatment 2: Lens Matrix
-4.6.3 Matrix Treatment 3: Relations between Matrix Elements and Cardinal Points(矩阵处理3:矩阵元与主点的联系)
--4.6.3 Matrix Treatment 3: Relations between Matrix Elements and Cardinal Points
-第四章习题
--习题
-5.0 What is Interference(什么是干涉)
-5.1.1 Superposition of Waves: General Case(波叠加的通式)
--5.1.1 Superposition of Waves: General Case
-5.1.2 Adding Wave with Same Frequency and Direction(同频同向波的叠加)
--5.1.2 Adding Wave with Same Frequency and Direction
-5.1.3.1 Standing Wave 1 (驻波(上))
-5.1.3.2 Standing Wave 2 (驻波(下))
-5.1.4.1 Adding Waves with Different Frequencies 1: Beat and Group Velocity(不同频率波的叠加(上):拍和群速度)
--5.1.4.1 Adding Waves with Different Frequencies 1: Beat and Group Velocity
-5.1.4.2 Adding Waves with Different Frequencies 2: Continuous Frequency Spectrum(不同频率波的叠加(中):连续的频谱)
--5.1.4.2 Adding Waves with Different Frequencies 2: Continuous Frequency Spectrum
-5.1.4.3 Adding Waves with Different Frequencies 3: property of Wave Packet and Reciprocal Relation(不
--5.1.4.3 Adding Waves with Different Frequencies 3: property of Wave Packet and Reciprocal Relation
-5.2.1 Interference of Two Point Sources and Coherent Condition(两个点源的干涉和相干条件)
--5.2.1 Interference of Two Point Sources and Coherent Condition
-5.2.2 Young's Double-Slits Experiment(杨氏双缝干涉实验)
--5.2.2 Young's Double-Slits Experiment
-5.2.3 Another Treatment of Young's Interference, Paraxial and Far-field Condition(杨氏干涉的另一种处理,傍轴和远场条
--5.2.3 Another Treatment of Young's Interference, Paraxial and Far-field Condition
-Chapter 5 Interference and Coherence(Part 1)--第五章习
-5.3.0 Interference by Thin Film(薄膜干涉)
--5.3.0 Interference by Thin Film
-5.3.1 Equal Thickness Fringe(等厚干涉条纹)
--5.3.1 Equal Thickness Fringe
-5.3.2 Equal Inclination Fringe(等倾干涉条纹)
--5.3.2 Equal inclination Fringe
-5.3.3 Michelson Interferometer(Michelson干涉仪)
--5.3.3 Michelson Interferometer
-5.4.0 Multibeam Interference(多光束干涉)
--5.4.0 Multibeam Interference
-5.4.1.1 Derivation 1(理论推导(上))
-5.4.1.2 Derivation 2(理论推导(下))
-5.4.2.1 Discussion(结论与讨论)
-5.4.2.2 Application: F-P Interferometer(应用:F-P 干涉仪)
--5.4.2.2 Application: F-P Interferometer
-5.5.0 Coherence Theory(相干理论)
-5.5.1 Spatial Coherence(空间相干性)
-5.5.2.1 Temporal Coherence(时间相干性)
-5.5.2.2 Coherent Time and Length(相干时间和相干长度)
--5.5.2.2 Coherent Time and Length
-5.5.3.1 Definition of Correlation Function(关联函数定义)
--5.5.3.1 Definition of Correlation Function
-5.5.3.2 Correlation Function and Coherence(关联函数与相干)
--5.5.3.2 Correlation Function and Coherence
-第五章习题(下)
--习题
-6.1 basic problem in diffraction(衍射的基本问题)
--6.1 basic problem in diffraction
-6.2.1 Huygens-Fresnel Principle and Kirchhoff Euation(惠更斯-菲涅耳原理和基尔霍夫方程)
--6.2.1 Huygens-Fresnel Principle and Kirchhoff Euation
-6.2.2 Fresnel and Fraunhoffer Diffraction(菲涅耳与夫琅和费衍射)
--6.2.2 Fresnel and Fraunhoffer Diffraction
-6.3.1 Fresnel Diffraction 1: Half Wavelength Plate(菲涅耳衍射1:半波带法)
--6.3.1 Fresnel Diffraction 1: Half Wavelength Plate
-6.3.2 Fresnel Diffraction 2: Phasor Method(菲涅耳衍射2:旋转矢量法)
--6.3.2 Fresnel Diffraction 2: Phasor Method
-6.3.3 Fresnel Diffraction 3: Opaque Disk and Babinet Principle(菲涅耳衍射3:圆屏衍射和Babinet原理)
--6.3.3 Fresnel Diffraction 3: Opaque Disk and Babinet Principle
-6.3.4 Fresnel Diffraction 4: Fresnel Zone Plate(an application)(菲涅耳衍射4:菲涅耳波带片(一个应用))
--6.3.4 Fresnel Diffraction 4: Fresnel Zone Plate(an application)
-6.4.0 Fraunhoffer Diffraction: General Expression(夫琅和费衍射1:普遍表达形式)
--6.4.0 6.4.0 Fraunhoffer Diffraction: General Expression
-6.4.1.1 Single Slit Fraunhoffer Diffraction(单缝夫琅和费衍射)
--6.4.1.1 Single Slit Fraunhoffer Diffraction
-6.4.1.2 Characteristic of Single Slit Case(单缝衍射的特点)
--6.4.1.2 Characteristic of Single Slit Case
-6.4.2 Fraunhoffer Diffraction for Rectangular Window(矩形窗口的夫琅和费衍射)
--6.4.2 Fraunhoffer Diffraction for Rectangular Window
-6.4.3.1 Fraunhoffer Diffraction for Circular Aperture(圆孔的夫琅和费衍射)
--6.4.3.1 Fraunhoffer Diffraction for Circular Aperture
-6.4.3.2 Diffraction Limit on Resolution(分辨率的衍射极限)
--6.4.3.2 Diffraction Limit on Resolution
-第六章习题(上)
--习题
-6.5.1 Fraunhoffer Diffraction for 2-slits Case(双缝夫琅和费衍射)
--6.5.1 Fraunhoffer Diffraction for 2-slits Case
-6.5.2.1 Multi-slits Dffraction 1: Intensity distribution(多缝衍射1:光强分布)
--6.5.2.1 Multi-slits Dffraction 1: Intensity distribution
-6.5.2.2 Multi-slits Diffraction 2: Interference between Slits and Principal maxima(多缝衍射2:缝间干涉和主极大)
--6.5.2.2 Multi-slits Diffraction 2: Interference between Slits and Principal maxima
-6.5.2.3 Multi-slits Diffraction 3: Missing Order and Examples(多缝衍射3:缺级与例题)
--6.5.2.3 Multi-slits Diffraction 3: Missing Order and Examples
-6.5.3.1 Grating Spectrometer(光栅光谱仪)
--6.5.3.1 Grating Spectrometer
-6.5.3.2 Dispersion Relation of Grating Spectrometer(光栅光谱仪的色散关系)
--6.5.3.2 Dispersion Relation of Grating Spectrometer
-6.5.3.3 Dispersion Power and Resolution(色散能力和分辨率)
--6.5.3.3 Dispersion Power and Resolution
-6.5.3.4 Free Spectral Range(自由光谱程)
-第六章习题(下)
--习题
-7.0 introducing Fourier expansion and transform(介绍傅里叶展开与变换)
--7.0
-7.1.1 Fourier transform for periodic functions(周期函数的傅里叶展开)
--7.1.1
-7.1.2 examples on Fourier expansion(傅里叶展开的例子)
--7.1.2
-7.2.1 Fourier transform for general functions(一般函数的傅里叶变换)
--7.2.1
-7.2.2 Fourier transforms of some typical functions and relation on width distribution(一些典型函数的傅里叶变换和分
--7.2.2
-7.3.1 Dirac delta function(狄拉克delta函数)
-7.3.2 Fourier transform of the delta function(delta函数的傅里叶变换)
--7.3.2
-7.4.1 properties of Fourier transform(傅里叶变换的性质)
--7.4.1
-7.4.2 Fourier transform of derivatives(函数导数的傅里叶变换)
--7.4.2
-7.4.3 what is convolution between functions(函数的卷积是什么)
--7.4.3
-7.4.4 Fourier transform of convolution(卷积的傅里叶变换)
--7.4.4
-7.5 relation between fourier transform and Fraunhoffer equation(傅里叶变换与夫琅禾费衍射之间的关系)
--7.5
-7.6 Abbe image formation(阿贝成像原理)
--7.6
-Chapter 7--第七章习题
-8.1 what is polarization(什么是偏振)
--8.1
-8.2.1 how to express polarization state(如何表达偏振态)
--8.2.1
-8.2.2 unpolarized and partial polarized light(非偏振态和部分偏振态)
--8.2.2
-8.3 linear polarizer(线偏振片)
--8.3
-8.4.1.1 Jones vector(Jones 矢量)
--8.4.1.1
-8.4.1.2 Transformation of Jones Vector(Jones 矢量的变换)
--8.4.1.2
-8.4.2 Jones matrix(Jones 矩阵)
--8.4.2
-第八章(上)习题
--习题
-8.5.1 Birefringence and a simple illustration
--8.5.1 Birefringence and a simple illustration
-8.5.2 Ordinary and Extraordinary light
--8.5.2
-8.5.3 Typical Examples
--8.5.3
-8.6.1 application 1-linear polarizer
--8.6.1
-8.6.2.1 application 2-quarter wave plate
--8.6.2.1
-8.6.2.2 application 2-change polarization state by quarter wave-plate
--8.6.2.2
-8.6.2.3 application2-change direction of polarization by half-plate
--8.6.2.3
-8.7.1
--8.7.1
-8.7.2
--8.7.2
-8.7.3
--8.7.3
-8.7.4
--8.7.4
-8.8.1
--8.8.1
-8.8.2
--8.8.2
-8.8.3
--8.8.3
-第八章(下)习题
--习题
-期末测试
--期末测试